Перенос теплоты теплопроводностью

К выражению закона Фурье

Рис. 4.1. К выражению закона Фурье

Закон Фурье.

Внутри тела всегда можно найти совокупность точек, имеющих одинаковую температуру, образующих изотермические поверхности. Изменение температуры по нормали п к изотермической поверхности, получило название температурного градиента (рис. 4.1):

Количество теплоты dQ Дж, передаваемое теплопроводностью через элемент df изотермической поверхности тела за время dx, выражается основным уравнением теплопроводности (закон Фурье):

где X — коэффициент теплопроводности, выражает количество теплоты, передаваемое теплопроводностью через 1 м2 поверхности за время 1 с при изменении температуры на один градус, на единицу длины нормали к изотермической поверхности. Размерность:

Величина X зависит от природы вещества, его структуры, температуры и других параметров и определяется опытным путем.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Для решения задачи переноса теплоты теплопроводностью необходимо знать уравнение, описывающее распределение температур в пространстве и во времени.

Выделим в однородном и изотропном теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz и постоянными параметрами: плотность — р, теплоемкость — Ср, коэффициент теплопроводности — X (рис. 4.2).

К выводу дифференциального уравнение теплопроводности

Рис. 4.2. К выводу дифференциального уравнение теплопроводности

Тепловой поток, входящий в параллелепипед, можно разложить на три составляющие по направлению осей координат:

Через противоположные грани параллелепипеда выходят тепловые потоки, получающие некоторое приращение температуры и имеющие соответствующие температуры на гранях:

Тогда величина выходящих тепловых потоков составит:

Отсюда приращение количества теплоты в параллелепипеде в направлении осей может быть выражено:

Полное приращение теплоты:

Этот приток теплоты вызовет некоторое повышение температуры

параллелепипеда за время dx на величину —dx. Теплота, расходуемая

дх

на повышение температуры в объеме параллелепипеда, составит

Приравнивая выражения (4.2) и (4.3), получим дифференциальное уравнение теплопроводности:

где а — коэффициент температуропроводности, м2/с.

Для одномерного стационарного температурного поля уравнение (4.4) будет иметь вид

Решим уравнение (4.5) применительно к плоской стенке (рис. 4.3). Интегрируем (4.5):

где Сь С2 — постоянные интегрирования.

К выводу уравнения теплопроводности плоской стенки

Рис. 4.3. К выводу уравнения теплопроводности плоской стенки

Определим эти постоянные из условий:

  • • прих = 0 t = tCT], а следовательно С2 = tCTa;
  • • при х - bt - tCT2, а следовательно

Отсюда:

Подставим (4.6) в (4.1):

или

Для плоской многослойной стенки уравнение (4.7) будет иметь вид

где i — порядковый номер слоя; п — число слоев.

Для цилиндрической стенки длиной I, внутренним радиусом гвн и наружным гн уравнение (4.7) неприменимо, поскольку поверхности стенок не равны друг другу. Запишем закон Фурье для цилиндрической стенки с текущим радиусом г:

где 6 = гн - гт, или

Разделим переменные и проинтегрируем:

где tCTl и tCT2 — температуры на внутренней и внешней поверхности стенки.

После интегрирования получим

Отсюда:

или

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >