ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Изложение даже краткого курса общей физики невозможно без использования элементов высшей математики.

Строгие определения и доказательства следует смотреть в соответствующих разделах математического анализа. Здесь дадим лишь некоторые представления о математических понятиях, которые понадобятся для понимания физических явлений.

Понятие производной

Производная характеризует скорость изменения какой-либо величины, зависящей от х, т. е. функции f(x) при изменении величины х. За меру этой скорости берется отношение ду/Ах (рис. 1.1). Это отношение зависит от величины Ах. В районе точки А чем больше отрезок Ах, тем отношение Ау/Ах будет больше. Принимается, что Ах должно быть малым (бесконечно малым, Ах -> dx). Тогда и Ау будет стремиться к бесконечно малой величине dy, но отношение Ау/Ах будет определенным числом. Это число называется производной от величины у по х, или производной функции у(х) по х. Обозначается производная у':

Она характеризует наклон кривой у(х). В точке В производная меньше, чем в точке А, а в точке С вообще равна нулю. Производная постоянной величины равна нулю. В точке D положительному значению Дх соответствует отрицательное приращение Ау. Это означает, что если функция в какой-либо точке убывает, то производная в этой точке отрицательна.

Если функция у(х) задана аналитически (в виде формулы, например у=sin(x)+2), то производную тоже можно найти в виде формулы, например:

Будем всегда писать аргумент функции в скобках, т. е. sin(a), а не sina, иначе нас не поймет компьютер, когда мы к нему обратимся.

Операция перехода от у к у' называется дифференцированием. Существуют определенные правила дифференцирования, например производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель можно выносить за знак производной и т. д. Формулы дифференцирования, подобные (1.2), приведены в справочниках по математике.

Если же функция задана численно (например, значениям х = 0; 5; 10; 15 и т. д. соответствуют значения у= 10,0; 10,2; 10,5; 10,8...) или в виде нарисованного графика, как на рисунке 1.1, то у' в каждой точке находится делением ду на Дх, причем дх берется по возможности малым.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >