Спектр почти периодических колебаний. Соотношение неопределенностей

Если колебания непериодические, то, как показывается в курсах математики, спектр будет не линейчатым, а сплошным. Особое значение в физике имеет случай почти периодических колебаний. На рисунках 2.79, г, д приведены два примера таких колебаний. В одном случае — это медленно затухающие колебания, в другом — быстро (время «жизни» осциллятора невелико).

Спектр должен быть почти линейчатым, но в то же время, поскольку x(t) непериодическая функция, спектр должен быть сплошным. Компромиссное решение вопроса показано на рисунках 2.79, г, д. Спектр — более или менее узкая линия, но не бесконечно узкая, как в случае гармонических колебаний (рис. 2.79, а), а размытая на некоторую ширину Доз.

Пометим на рисунке 2.79, г участок At, на котором колебания можно считать примерно периодическими. Чем этот участок больше, тем точнее можно считать колебания гармоническими, тем больше спектр будет похож на узкую линию, Доз будет меньше. Наоборот, при быстром затухании At мало, колебания далеки от гармонических и линия размазывается на больший участок Дсо.

В строгой теории показывается, что Доз и At обратно пропорциональны друг другу:

Это очень важное соотношение носит название соотношение неопределенностей. Его надо понимать так. Всякое колебание длится некоторое время. Поэтому на вопрос «Когда были колебания?» нельзя ответить точно. Можно только указать его с некоторой неопределенностью At. А величина Да) — это неопределенность частоты. И эти две неопределенности связаны друг с другом обратно пропорциональной зависимостью.

Например, для осциллятора, совершающего затухающие колебания при большом затухании (быстрой потери энергии, малом времени жизни осциллятора) величина At будет малой, а ширина линии Доз в спектре — большой. И наоборот, чем больше время жизни осциллятора (меньше затухание, меньше потери энергии), тем Доз будет меньше.

Пример. Пусть затухающие колебания описываются формулой (2.114). С помощью компьютера исследуем вид спектра таких колебаний в зависимости от величины 5, используя программы sp__zatuh.pas или spl_zat, которые имеются в пакете ПАКПРО. В этих программах колебания заданы в виде функции /(г) в соответствии с формулой (2.114). Коэффициент затухания 5 обозначен через d. Программа вычерчивает само колебание /(г) и его спектр (амплитуды гармоник ап в зависимости от частоты со).

Поменяйте в программе величину затухания d и посмотрите, что будет со спектром. Величину Дсо (полуширину) надо измерять на половине высоты линии. Выполняется ли соотношение неопределенностей?

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >