ВОЛНЫ

Распространение колебаний в упругой среде. Уравнение одномерной волны

Представим, что между двумя точками натянут шнур. И пусть на каждую точку шнура, отклоненную от положения равновесия, действует возвращающая сила. Отклонение от положения равновесия будем обозначать буквой и, а расстояние вдоль шнура — х (рис. 2.81). Отклоним в точке х = 0 шнур вверх и отпустим. Точка будет колебаться вверх-вниз под действием возвращающей силы:

(См. предыдущую тему.) Но это не все. Поскольку эта точка связана с соседними, они тоже потянутся вверх и тоже начнут колебаться, но с некоторым запаздыванием по времени. В результате возбуждение будет распространяться вправо по шнуру с некоторой скоростью v (рис. 2.81, б, в, г). Этот процесс называется бегущей волной или просто волной.

Напишем уравнение колебаний в некоторой точке х* 0. Здесь колебания будут происходить позже на время At = x/v. Уравнение колебаний в точке х будет иметь вид

Обычно вызывает трудность вопрос, почему время запаздывания надо отнять от t, а не прибавить к нему. Мы хотим отразить тот факт, что в точке х значение и будет таким же, как в точке 0, но позже, когда t будет больше. Но чтобы и было таким же, надо уменьшить ? на величину времени запаздывания.

Уравнение (2.125) называют уравнением волны. То, что стоит под знаком периодической функции, называется фазой волны, а щ — ее амплитуда. Уравнение (2.125) показывает, что отклонение и зависит не только от времени, как в (2.124), но и от расстояния х, так что и = u(x,t).

Причем и зависимость от х и зави- Рис. 2.81

симость от t периодические. Когда t увеличивается на Т = 2л/(0, фаза увеличивается на 2л, т. е. значения косинуса, а следовательно, и значения и повторяются. Поэтому Т — это период по времени. В то же время, если мы сместимся на расстояние X = 2kv/o), отклонение и также повторится, так как фаза изменится на 2л. Это кратчайшее расстояние между точками, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Заметив, что 2л/(0 это период Т (см. раздел 8 данной главы), получаем, что

Длина волны — это расстояние, которое волна проходит за один период.

Можно уравнение волны переписать в виде

Хорошо видно, что и повторяет свое значение через t — Т или через х = X (двойная периодичность).

Часто пользуются величиной /с = 2к/Х, которая называется волновым вектором (ей приписывается направление, совпадающее с направлением распространения волны). Тогда уравнение волны можно записать так:

Уравнение волны также пишут в виде

где г — мнимая единица. Здесь использовано соотношение е = cosa + tsina и подразумевается, что берется только реальная часть от выражения (2.129).

Все формы записи уравнения волны (2.125)-(2.129) равносильны и используются одинаково часто.

Пример. Сделаем модель одномерной волны на экране компьютера. Для этого составим короткую программу, в которой после ввода необходимых параметров будет строиться кривая и(х) в некоторый фиксированный момент времени (внутренний цикл по х), затем это повторяется для следующего момента времени и т. д. (внешний цикл по С):

Print "volna" tl=l

L=l: v=0.2: dx=le-4: E0=15: C=10 w=2*3.14/tl Def fnE=EO*cos(w*(t-x/v))

Screen 8

For t=0 to tl/5 step tl/50 For x=0 to L step dx

Pset(x*600,100-fnE*5),C Next x C=C+1 Next t

End

Для волны, бегущей в противоположном направлении (влево на рисунке 2.81), следует в уравнениях (2.125)—(2.129) изменить знак скорости:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >