ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

•Коши Огюстен Луи (I789—1857) — французский математик; Буняковский В.Я. (1804— 1889) — русский математик.

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной и той же размерности. Такие совокупности называют системой векторов и обозначают одной буквой и порядковым номером:

Определение 11. Линейной комбинацией векторов (1.18) называется вектор вила

где X,, Х2, ..., Хк любые действительные числа.

Например, пусть даны три вектора: я, =(1, 2, 0), а2 =(2,1,1) и д3 = (-1,1, -2). Их линейной комбинацией с коэффициентами соответственно 2, 3 и 4 является вектор b = (4,11, -5).

В случае равенства (1.19) говорят также, что вектор b линейно выражается через векторы (1.18) или разлагается по этим векторам.

Определение 12. Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов (1.18) называется линейной оболочкой этой системы.

Можно непосредственно проверить, что линейная оболочка системы векторов является подпространством /?".

Определение 13. Система ненулевых векторов (1.18) называется линейно зависимой, если существуют такие числа X,, Х2,...» Xk, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

Если же равенство (1.20) для данной системы векторов (1.18) возможно лишь при X, = Х2 = ... = Хк = 0, то эта система векторов называется линейно независимой.

Например, система двух векторов 5j =(1, 0) и а2 = (0, 2) линейно независима; система двух векторов ?,=(!, 2,1) и Ь2 =(2,4,2) линейно зависима, так как Ь2 - 2?, = б.

Пусть система векторов (1.18) линейно зависима. Выберем в сумме (1.20) слагаемое, в котором коэффициент Xs * 0, и выразим его через остальные слагаемые:

Как видно из этого равенства, один из векторов линейно зависимой системы (1.18) оказался выраженным через другие векторы этой системы (или разлагается по остальным ее векторам).

Укажем свойства линейно зависимой системы векторов.

  • 1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.
  • 2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.
  • 3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится по крайней мере один вектор, который линейно выражается через остальные.

Геометрический смысл линейной зависимости векторов очевиден для случаев двумерных векторов на плоскости и трехмерных векторов в пространстве. В случае двух векторов, когда один вектор выражается через другой, мы имеем

т.е. эти векторы коллинеарны или, что то же самое, находятся на параллельных прямых (рис. 1.2). В пространственном случае линейной зависимости трех векторов они параллельны одной плоскости, т.с. компланарны (рис. 1.5, а) достаточно «подправить» соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других или выражался через них (рис. 1.5, б).

Рис. 1.5

Справедлива следующая теорема, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 1.1. В пространстве R" любая система, содержащая т векторов, линейно зависима при т > /;. ?

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >