ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Ранг матрицы

Выше уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматривать как системы, состоящие из т л-мерных векторов (или из п /я-мерных векторов).

Поскольку любая система векторов характеризуется рангом (п. 1.3.2), естественно возникает вопрос о такой же характеристике для матриц. Здесь имеют место две совокупности векторов — векторы-строки и векторы-столбцы, поэтому у матрицы, вообще говоря, есть два ранга: строчный и столбцовый.

Ответ на вопрос об их равноправии дает следующая теорема.

Теорема 2.1. Строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны. ? Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Стало быть, ранг любой матрицы размера тх п можно искать, как ранг одной из двух систем векторов: либо т векторов-строк, либо п векторов-столбцов. Как следует из п. 1.3.2, для прямоугольной матрицы максимальный ранг г - min (т, п). Максимальный ранг квадратной матрицы размера пхп не может превышать п: г ? п.

Понятие обратной матрицы

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы, поэтому здесь и далее мы будем иметь дело с матрицами порядка п.

Определение 5. Матрица порядка п называется вырожденной, если ее ранг г<п.

Определение 6. Матрица А~1 называется обратной по отношению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице

Способы нахождения обратной матрицы будут приведены ниже. Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой матрицы порядка п ее ранг г < п, то для нее не существует обратной матрицы.

Упражнения

2.1. Найти матрицу С = - В, где

2.2. Даны следующие матрицы:

Найти:

  • а) все произведения матриц, которые имеют смысл;
  • б) соответствующие транспонированные матрицы;
  • в) матрицу 2G - С2;
  • г) матрицу С3.
  • 2.3. Дана матрица j' пРовеРить непосредственным вычислением, какие из приведенных ниже векторов являются собственными векторами этой матрицы, и указать соответствующие собственные значения:

2.4. Найти транспонированные матрицы Аг:

2.5.

Проверить справедливость матричных тождеств:

  • а) {оА)т = сг, где а — любое число;
  • б) (АВ)ТТВТ
  • в) (А + В)т « Ат + Вт
  • г) (АВС)ТГВТСТ
  • д) А2 - В1 = {А + В) (А - В) с) (А - В)2 = А2-2АВ+ В2;
  • ж) (А - Е)3 = Л3 - ЗА2 + ЗА - Е.
  • 2.6.

Найти функцию f(A), аргументом которой является матрица А, если/(х) = = х3 - lx2 + х:

~ п п ( cos a sin а ^ ( cos лос sm/юЛ

2.7. Доказать, что . = .

l-sma cos a I I-sin/юс cos na J

2.8. Умножить произвольную матрицу В четвертого порядка на заданную матрицу А:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >