Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ
Посмотреть оригинал

Методы решения систем линейных уравнений

Метод обратной матрицы и теорема Крамера

Рассмотрим мастный случай системы (4.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. т - п. Система уравнений имеет вид:

Составим квадратную матрицу А порядка п этой системы:

В матричной форме система уравнений (4.6) имеет вид (4.4)

где матрицы Xи В имеют размер п х 1. Пусть матрица системы А является невырожденной, т.с. существует обратная матрица А~1. Умножив обе части этого уравнения слева на А~ получаем решение системы уравнений (4.6) в матричной форме:

Обратная матрица к заданной матрице А вычисляется по довольно сложным формулам. Когда порядок п матриц Л и А~] достаточно велик, вычисление обратной матрицы может быть очень громоздким.

Другой метод решения системы уравнений (4.6) основан на теореме Крамера*. Составим определитель матрицы системы А:

который называется также определителем системы. Заменим в этом определителе у-й столбец на столбец свободных членов В, т.е. получим этой заменой другой определитель, который обозначим Д

•Крамер Габриель (1704—1752) — швейцарский математик.

Теорема 4.2 (правило Крамера). Пусть Д — определитель матрицы системы А, a Aj — определитель, полученный из определителя А заменой у-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда, если Д * 0, то система линейных уравнений (4.6) имеет единственное решение, определяемое по формулам

Доказательство. Запишем в развернутом виде форму матричного решения системы (4.9). Из вида обратно!! матрицы (3.12), а также из определения умножения матрицы на число следует, что столбец неизвестных X выражается по формуле

Выполнив умножение матриц в правой части этого равенства, мы имеем равенство двух матриц-столбцов, из которого, приравнивая соответствующие элементы, получаем систему равенств-выражений для неизвестных ху.

Но по теореме 3.1 сумма в скобках правой части этого равенства представляет собой разложение определителя по у-му столбцу, в котором стоят элементы столбца свободных членов, а остальные столбцы этого определителя такие же, как и в определителе системы Д. Иными словами, эта сумма и есть определитель Aj. Теорема доказана. ?

Формулы вычисления неизвестных (4.12) — решения системы (4.6) — носят название формул Крамера.

Пример 1. Найти решение системы уравнений

Составим и вычислим определители системы Д и А, (у = х% у, z):

Определитель системы отличен от нуля, стало быть она имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам (4.12):

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы