ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО

Теорема 9.3. Если функции и (х) и v(x) дифференцируемы в точке х, то сумма (разность), произведение и частное этих функций (частное при условии v(x) ф 0) также дифференцируемы в этой точке, причем справедливы следующие формулы:

Доказательство. Для вывода формул (9.12) будем использовать определение производной (9.1) и теорему 8.3 о пределах функций.

Для вывода второй и третьей формул (9.12) используем также равенство /(х + + Ах) =/(х) + ДДх).

2. В этом случае последовательно получаем:

ПРОИЗВОДНЫЕ ПОСТОЯННОЙ, СТЕПЕННОЙ, ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Производная постоянной функции

Возьмем функцию у = /(х) = Су где С — постоянное число. Для любых х и Дх * О имеем Ду = С - С = 0, откуда Ду/Дх = 0, а значит

Производная степенной функции

Выведем формулу для производной функции у = х", где п — целое положительное число. Здесь мы используем формулу бинома Ньютона:

Следовательно, при Дх * 0 имеем:

но, поскольку все слагаемые, содержащие Ах, в пределе при Дх -» О равны нулю, получаем:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >