ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ВЕЩЕСТВЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Понятие логарифмической производной функции

Пусть функция/(*) положительная и дифференцируемая в точке *. Вычислим производную функции у = In /(*). По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

Это выражение называется логарифмической производной функции /(*).

Найдем с помощью логарифмической производной производную показательно-степенной функции где и и v > 0 — некоторые функции от аргумента х, имеющие в точке х соответствующие производные. Поскольку In .у = v(x) 1п«(х), то использование формулы (9.28) приводит к равенству

С учетом вида функции у получаем следующую формулу для производной показательно-степенной функции:

Рассмотрим в качестве примера вычисление производной для функции у-Xх. Эту функцию можно представить в виде (9.29), где и(х) = х, v(x) = х. Подставляя эти выражения в формулу (9.30), получаем:

Произволная степенной функции с любым вещественным показателем

Выведем формулу производной для степенной функции у = ха, где а — любое вещественное число.

Прологарифмируем эту функцию: In у = а In х. По формуле (9.28) находим Подставляя сюда у = x“, получаем искомую формулу

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >