Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ
Посмотреть оригинал

Формула Маклорена

Формулой Маклорена** называется формула Тейлора (10.6) при д = 0:

Здесь остаточный член имеет вид:

•Пеано Джузеппе (1858—1932) — итальянский математик. ••Маклорен Колин (1698—1746) — шотландский математик.

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Один из основных принципов математики — представление сложного через более простое. Формулы Тейлора и Маклорена как раз являются реализацией этого принципа. Любые функции, удовлетворяющие условиям теоремы Тейлора, с достаточной степенью точности могут быть представлены в виде многочлена п-й степени. Многочлены же — наиболее простые элементарные функции, над которыми удобно выполнять арифметические действия, вычислять значения в любой точке и т.д.

Формулы (Ю.6) и (10.12) дают возможность разложить функцию/(х) по формуле Тейлора (в окрестности точки а) и по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить/(х) в виде многочленов, коэффициенты которых вычисляются достаточно просто. Эти формулы широко используются и для приближенных вычислений значений различных функций; при этом погрешность вычислений оценивается по остаточному члену в форме Лагранжа.

Выведем рахпожения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

I./W - *х.

Поскольку/"(*) = ех,/(л)(0) * е° = 1 для любого п, формула Маклорена (10.12) имеет вид:

Формула (10.13) используется для вычисления числа е с любой необходимой точностью. Запишем ее с остаточным членом в форме Лагранжа при х - 1:

Отбрасывая последнее слагаемое, получаем приближенное значение числа с ~ 2,7182818..., причем погрешность расчета оценивается по формуле

Например, при п = 7 погрешность вычисления числа е составит менее 7,44 • 10~5, или менее 0,01%.

3. /(х) * COS X.

Поскольку f(n) = cos ^x + //^ j,

Подстановка в формулу (10.12) приводит к разложению по формуле Мак- лорсна:

4. /(х) = In (1 + х).

Так как = (-1)""1 ^ /(0) = 0, /ы(0) = (-1)"“1 (/i -1)!; подстанов-

(1 + х)”

ка в формулу (10.12) приводит к разложению функции In (1 + х) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):

5. /(1 + х)а, где а — вещественное число.

/<">(х) = а (а - 1) (а - 2)... (а - п + I) (I + х)а"я, т.е./>(0) = а (а - 1)... (а - п + 1), и формула Маклорена для данной функции имеет вид:

В частном случае, когда а = п — целое число,/ * = 0, и формула (10.17) переходит в формулу бинома Ньютона:

т.е. бином Ньютона является частным случаем формулы Маклорена.

6. /(х) = arctg х.

Путем последовательного дифференцирования этой функции можно установить, что

Тогда формула Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

Формула Маклорена в асимптотических формулах и вычислениях пределов функций

Формулы (10.13)—(10.17) и (10.19) представляют собой асимптотические формулы (или оценки) соответственно для функций ех, sin х, cosx, In (1 + х),

(1 + х)а и arctg х при х -» 0. Указанные асимптотические формулы эффективно используются при вычислении пределов функций. Покажем это на примерах.

Пример 5. Найти предел lim Sin* Х.

х-*0 xi

Применяя формулу (10.14) при п = 2, получаем:

п ^ ,, „ .. cos х - exp (-х2 /2)

Пример 6. Найти предел lim---—.

х-*0 jc4

х2

Используем формулы (10.13) при г =--и п = 2 и (10.15) при п = 2. Получаем

2

при подстановке в выражение под знаком предела:

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы