Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ
Посмотреть оригинал

Плошаль поверхности вращения

Пусть функция f{x) неотрицательна и имеет непрерывную производную на отрезке [а, Ь. Докажем, что площадь поверхности, образованной вращением графика функции вокруг оси Ох, вычисляется по формуле

Возьмем произвольное разбиение отрезка [а, b) на частичные отрезки Ах, = - х/- | * 0, / = 1, 2,.., л; х0 - а, хп - Ь. Пусть Л/0, Л/,, Л/2,...» Мп соответствующие точки на графике функции fix). Проведем хорды, соединяющие соседние точки; при вращении полученной ломаной вокруг оси Ох образуется поверхность, составленная из боковых поверхностей усеченных конусов. Площадь боковой поверхности /-го усеченного конуса (рис. 12.18) равна

где I. — длина хорды А/ _, Л/., определяемая формулой расстояния между двумя точками:

Рис. 12.18

Но по формуле Лагранжа

откуда получаем, что

Таким образом, площадь Р поверхности вращения приближенно равна площади поверхности, образованной от вращения ломаной,

Поскольку функция/(х) дифференцируема на отрезке [а, AJ, на каждом частичном отрезке (xf._,, дг#| она может быть разложена по формуле Тейлора в окрестности точки с остаточным членом первого порядка. Представим такие разложения для /(*,._,) и f(x.):

Подставим эти разложения в приближенную формулу для Р и представим сумму в правой части в виде двух сумм:

Первое слагаемое является интегральной суммой для непрерывной на отрезке а, b| функции /(х)у]+/'(х)]2 и потому имеет предел в виде определенного

интеграла при = шах{Дх.}->0. Оценим второе слагаемое У :

1 Ийп

Поскольку/Хх) непрерывна на [а, AJ, она ограничена всюду на этом отрезке, т.с. можно указать такое число А > 0, что |/' (х)| < А для любого х € а, Ь. Так как е (х,.,, xf), справедливы оценки:

Отсюда получаем общую оценку ?г:

Под знаком модуля стоит интегральная сумма для непрерывной на (<7, b функции, т.с. существует конечный предел этой суммы при X -> 0. Значит, 0 при X —> 0. Стало быть, предельный переход в формуле (12.47) приводит к формуле (12.46), что и требовалось доказать.

Если кривая, вращением которой образуется поверхность, задана параметрически, т.е. х = (р (/), у = |/ (/), а < t < Р, и при изменении г от а до р ф (0 изменяется от а до Ь, ф (а) = я, ф (р) = b, то при замене переменной х - ф (/) в формуле (12.46) получаем:

Наконец, если кривая задана в полярных координатах со всеми необходимыми требованиями (см. п. 12.7.2), то формула (12.46) будет иметь вид:

Вычислим площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох заданных кривых.

Пример 17. Дуга кривой у = х*/3 от х = 0 до х = 1.

Решение. Подставляя в формулу (12.46) / (х) = х*/3 и /'(*) = х2, получаем:

Пример 18. Циклоида х = a (t - sin /), у = а (1 — cos /), 0 < / ? 2л. Решение. Применение формулы (12.48) даст:

Пример 19. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды р = а (1 + cos ф) вокруг полярной оси.

Решение. Предварительно вычисляем: р' (ф) = - a sin ф, р2 + (р')2 = 2 (1 + cos ф) =

Ф

= 4a2 cos2 “ • Подставляя в формулу (12.49), получаем:

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы