Содержание и методические особенности проектирования системы учебных исследований по математике как средства развития творческой самостоятельности учащихся 5—б-х классов

Используя принципы системного подхода при составлении системы учебных исследований, мы опирались на следующие теоретические положения ученых Е. Н. Кабановой-Меллер1 и В. И. Крупича[1] [2]:

  • • система задач, обладающая свойством структурной полноты, является дидактической основой развивающего обучения. Ее содержание является предметом усвоения знаний, умений и навыков, которое направляет и стимулирует учебную деятельность учащихся;
  • • усвоение приемов поиска способов решения исследовательских задач должно осуществляться через овладение приемами учебной деятельности в процессе решения этих задач (на каждом этапе процесса решения);
  • • обучение приемам учебного исследования должно проходить в три этапа: ознакомление с приемом, обучение применению приема, обучение переносу приема, т.е. использование приема в решении новых задач. Умение школьника осуществлять перенос приема является показателем его освоенности;
  • • модель поиска решения проблемно-поисковых задач определяется основным отношением (проблемой, заключающейся в задаче), реализованным в задаче, и поэтому она инвариантна относительно величин, входящих в сюжет задачи;
  • • принятие учебной задачи (цели, проблемы) и ее самостоятельная постановка не могут осуществляться без учебно-познавательных мотивов.

Исходя из этих положений сформулируем требования к системе домашних учебных исследований:

  • 1. Система учебных исследований должна быть построена с учетом принципа целостности, т.е. обладать свойством структурной полноты.
  • 2. Каждый компонент системы должен соответствовать конкретной дидактической цели формирования определенного приема учебной деятельности.
  • 3. Система учебных исследований должна быть направленной на развитие творческой самостоятельности учащихся и обеспечивать постепенное возрастание уровня самостоятельности.
  • 4. Система домашних учебных исследований должна способствовать формированию исследовательских умений учащихся.
  • 5. Домашние учебные исследования должны соответствовать содержанию программного материала и учебным возможностям школьников.
  • 6. Задания в системе приводятся по нарастающей степени трудности.
  • 7. Содержание домашних учебных исследований должно иметь положительную мотивацию.

Проектирование системы домашних учебных исследований проведем в соответствии с этапами методической системы А. М. Пышкало[3]:

  • 1. Целеполагание учебного исследования и выявление его логической структуры с учетом разработанной классификации.
  • 2. Отбор средств и методов, используемых при организации учебных исследований в домашних заданиях.
  • 3. Разработка содержания дифференцированных заданий для учебных исследований, соответствующих уровню развития творческой самостоятельности учащихся.
  • 4. Определение форм учебной деятельности и дозирование помощи учащимся при самостоятельном выполнении домашних учебных исследований.
  • 5. Итоговый анализ (рефлексия).

Этап 1. Система домашних учебных исследований определяется учебными задачами, направленными на достижение обобщенной цели учебной деятельности и должна:

  • • содержать учебные цели по формированию у учащихся теоретических знаний и способов действий на каждом этапе выполнения учебного исследования;
  • • включать учебные цели по осуществлению действий самостоятельного приобретения знаний, умений и приемов самообразования учащихся.

Выполнение домашних учебных исследований предполагает достижение следующих целей: формирование и развитие исследовательских умений и навыков (умение проводить наблюдения, умение собирать и анализировать информацию, умение экспериментировать, выявлять проблему, формулировать предположения, умение сопоставлять и обобщать факты, проводить доказательные рассуждения, приводить контрпримеры, делать выводы и т.д.), развитие творческой самостоятельности, рефлексии и т.д. Принятие учащимися цели учебного исследования способствует его сознательному выполнению и повышению качества усвоения учебного материала.

При организации учебных исследований учителю необходимо создавать педагогические ситуации, стимулирующие математические открытия, и управлять творческим поиском учащихся. Для этого учитель должен иметь некоторый собственный опыт исследовательской работы, хотя бы на уровне учебных исследований, иметь на своем собственном счету немало «открытий» (пусть и маленьких открытий для себя). Выражаясь словами Д. Пойа, учитель должен сам почувствовать «напряженность поиска и радость открытия», чтобы он мог вызвать их у своих учеников. Нельзя пренебречь в обучении этими эмоциональными факторами. Учащийся, испытавший радость открытия, смело идет на поиск решения новых задач. Он уже знает, что его ожидает, что напряженность поиска сменяется радостью открытия. На наш взгляд, это определяет большое воспитательное и развивающее значение домашних учебных исследований.

О. Б. Епишева1 отмечает основные методические приемы создания проблемной ситуации в обучении математике:

  • 1) использование жизненных явлений, фактов, их анализ с целью теоретического объяснения;
  • 2) использование с одной и той же целью задачи межпредметного, прикладного, профессионального и тому подобного характера;
  • 3) использование исторического или занимательного материала (фактов биографии математиков, математических фокусов и т.п.);
  • 4) организация практической работы исследовательского характера, в ходе которой учащиеся приходят к эмпирическим выводам, требующим теоретического обоснования;
  • 5) исследовательские задания, цель которых — обнаружить некоторые закономерности, требующие теоретического обоснования.

Этап 2. По классификации, предложенной И. Я. Лернером и М. Н. Скаткиным[4] [5], определяющей методы обучения как систему последовательных действий учителя, организующих и предопределяющих познавательную и практическую деятельность учащихся по усвоению всех элементов содержания учебных исследований, ведущими являются продуктивные методы обучения (проблемное изложение, эвристические, исследовательские). Специфику этих методов, связанную с деятельностью учителя и деятельностью учащихся в учебном исследовании можно представить следующим образом (табл. 4.6).

Как ясно из таблицы, метод обучения при организации учебного исследования может играть определяющую и вспомогательную роль, являясь средством реализации другого метода. «Основные методы обучения, — отмечают Е. Н. Шиянов и И. Б. Котова, — имеют различные формы их воплощения и средства реализации... эвристический и исследовательский методы включают конструирование, проектирование, планирование и проведение эксперимента, решение поисковых задач»[6].

Таблица 4.6

Продуктивные методы обучения и характер деятельности учителя и учащихся (по И. Я. Лернеру и М. Н. Скаткину)

Метод

обучения

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Метод

проблемного

изложения

Постановка проблемы и раскрытие доказательного пути ее решения

Восприятие знаний. Осознание знаний и проблемы. Внимание к последовательности и контроль над степенью убедительности решения проблемы. Мысленное прогнозирование очередных шагов логики решения. Запоминание (в значительной степени непроизвольное)

2. Эвристический метод

Постановка проблем. Составление и предъявление заданий на выполнение отдельных этапов решения познавательных и практических проблемных задач. Планирование шагов решения. Руководство деятельностью учащихся (корректировка и создание проблемных ситуаций)

Восприятие задания, составляющего часть задачи. Осмысление условий задачи. Актуализация знаний о путях решения сходных задач. Самостоятельное решение части задачи. Самоконтроль в процессе решения и проверка его результатов. Преобладание непроизвольного запоминания материала, связанного с заданием. Воспроизведение хода решения и его самостоятельная мотивировка

3. Исследовательский метод

Составление и предъявление проблемных задач для поиска решений. Контроль за ходом решения

Восприятие проблемы или самостоятельное усмотрение проблемы. Осмысление условий задачи. Планирование этапов исследования (решения). Планирование способов исследования на каждом этапе. Самоконтроль в процессе исследования и его завершения. Преобладание непроизвольного запоминания. Воспроизведение хода исследования, мотивировка его результатов

Ведущее место в организации домашних учебных исследований занимает исследовательский метод. Он предполагает организацию домашней работы наподобие процесса научного исследования, где осуществляются основные этапы исследовательского процесса, разумеется, в упрощенной, доступной учащимся форме:

  • • выявление неизвестных (неясных) фактов, подлежащих исследованию (ядро проблемы);
  • • уточнение и формулировка проблемы;
  • • выдвижение гипотез;
  • • составление плана исследования;
  • • осуществление исследовательского плана, исследование неизвестных фактов и их связей с другими, проверка выдвинутых гипотез;
  • • формулировка результата;
  • • оценка значимости полученного нового знания, возможностей его применения.

В качестве дидактических средств выступают учебные пособия, научно-популярная и справочная математическая литература, задачники, карточки с заданиями, разработанные учителем, средства информационных и коммуникационных технологий и др.

Этап 3. Заключается в подборке и разработке содержания заданий домашних учебных исследований. Для того чтобы они соответствовали уровням развития творческой самостоятельности учащихся 5—6-х классов, при разработке их содержания нужно учитывать следующие требования:

  • а) учебные исследования выполняются в домашних условиях за более или менее продолжительный срок (например, 1—2 недели, в течение месяца);
  • б) исследовательские задания предполагают возможность различного уровня их выполнения, различную степень проникновения в проблему, допускают различные степени обобщения и развития;
  • в) учебные исследования отличаются содержанием, постановкой вопроса и составлены так, чтобы использование учащимися литературы (а в настоящее время лучше говорить об использовании Интернета) для отыскания готового решения было практически исключено (задания отличаются оригинальностью, вариативностью, творческим выполнением);
  • г) учебные исследования подобраны по различным разделам школьного курса математики и удовлетворяют индивидуальным интересам и способностям учащихся;
  • д) домашние учебные исследования являются необязательными, но их можно предлагать всему классу;
  • е) результаты домашних учебных исследований полезно оформлять в виде рефератов, презентаций и выносить на обсуждение всего класса.

Приведем некоторые примеры учебных исследований, выполнение которых развивает мыслительные операции и творческую самостоятельность.

Задача 1. Продолжите ряды чисел:

  • а) 2, 4, 6, 8, 10, ...;
  • б) 1, 3, 5, 7, 9, ...;
  • в) 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10,
  • г) 3, 8, 13, 18, 23,
  • д) 3, 5, 9, 15, 23,
  • е) 2, 3, 5, 8, 13,
  • ж) 2, 3, 5, 8, 9, 11, 14, ... .

Проблема: по какому правилу составлен каждый ряд чисел?

Данное задание тренирует способность к сравнению и обобщению.

Самостоятельное открытие закономерностей вызывает интерес к их изучению. В случае, когда догадка сразу не приходит в голову, в решении проблемы поможет постановка экспериментов. Например, в следующем задании.

Задача 2. Вычислите сумму первых десяти нечетных чисел и сумму первых десяти четных чисел. Сравните эти суммы.

Проблема: вывести правило суммы первых п нечетных чисел; правило суммы первых п четных чисел.

Указание: представить сумму нечетных чисел в виде точек квадрата на рис. 4.5, а, а сумму четных чисел — в виде точек четырехугольника на рис. 4.5, б.

Иллюстрация суммы нечетных (а) и четных (б) чисел

Рис. 4.5. Иллюстрация суммы нечетных (а) и четных (б) чисел

Особую ценность в системе домашних учебных исследований представляют задания, направленные на развитие вариативного мышления, способности к перебору вариантов, например следующее.

Задача 3. Разделите на группы следующие числа:

  • а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10;
  • б) 2, 13, 3, 43, 6, 55, 18, 7, 9, 31;
  • в) 91, 81, 82, 95, 87, 94, 85;
  • г) 22, 74, 83, 44, 13, 55, 66, 97.

Проблема: по какому признаку производить группировку данных чисел?

Поскольку выбор признака, по которому можно классифицировать данные числа, не регламентирован, то каждое из предложенных заданий имеет несколько вариантов правильных решений.

Задача 4. Заполните таблицу.

X

0

1

2

3

4

5

6

80-Зх

56 + 5х

Пользуясь заполненной таблицей, найдите:

  • • корни уравнений:
    • а) 80 - Злг = 62;
    • б) 56+ 5* = 61;
    • в) 80 - Зх = 56 + 5х;
  • • решения неравенств:
    • а) 80 - Зх > 62;
    • б) 61 <56 + 5х<81;
    • в) 80 - Зх > 56 + 5х.

Проблема: определение различных методов решения уравнений и неравенств.

При выполнении приведенных исследований реализуются дидактические принципы деятельности, минимакса, непрерывности, вариативности, творчества. Так как все предлагаемые задания исследовательского характера, то в каждой задаче выделена проблема, а к некоторым даны указания или предлагаются вспомогательные задачи.

Задача 5. Найдите рациональным способом сумму

  • а) Числитель дроби есть единица, а знаменатель — произведение двух последовательных натуральных чисел. Представьте эту дробь в виде разности двух дробей с числителями, равными единице.
  • б) Придумайте несколько обыкновенных дробей, произведение которых равно их разности;
  • в) Проверьте вычисления и продолжите запись выражений:

г) Приведите примеры чисел, разность которых равна их произведению, и определите общий вид таких чисел.

Проблема: вывести правило вычисления суммы

В этом учебном исследовании задачи а) и в) являются вспомогательными задачами при нахождении рационального способа вычисления суммы. При решении задач б) и г) реализуется принцип творчества и вариативности.

Приведем пример, иллюстрирующий возможность применения исследовательского метода в обучении элементам геометрии в 5—6-х классах.

Задача 6. Укажите в таблице как можно больше общих свойств понятий «отрезок», «луч», «прямая» и как можно больше различий.

Общие свойства

Различия

Отрезок

Луч

Прямая

Проблема: обобщение и систематизация имеющихся у учащихся геометрических знаний, выделение общих свойств и различий.

Важны задачи, решение которых вскрывает истоки основных математических понятий, методов, выяснение связей между понятиями.

Задача 7. Решая задачу: «На плоскости отмечено семь точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки?», ученик рассуждал так: «Через каждую из семи точек и шесть остальных можно провести по прямой, следовательно, всего прямых можно провести 6 • 7 = 42». Прав ли ученик?

Анализируя условие задачи, учащиеся замечают, что любые две точки определяют только одну прямую и никакие три из данных семи точек не лежат на одной прямой. Задачу можно упростить, рассмотрев вначале меньшее количество точек.

  • 1. В результате анализа определяется проблема: как зависит количество прямых, проведенных через данные точки, от числа точек, отмеченных на плоскости, при условии что никакие три из данных точек не лежат на одной прямой?
  • 2. Для того чтобы сформулировать гипотезу, учащиеся проводят испытания (или пробы), обозначенные в ходе анализа задачи (рис. 4.6), и заносят результаты в таблицу.
К задаче по определению числа прямых

Рис. 4.6. К задаче по определению числа прямых

Испытания

I

II

III

IV

V

VI

VII

Число отмеченных точек (л)

1

2

3

4

5

6

7

Число проведенных прямых (х„)

1

3

6

10

15

21

Гипотезы.

А. Каждое следующее число прямых хп равняется предыдущему хп_ь сложенному с числом точек, соответствующих ему: 3 = 1 + 2; 6 = 3 + 3; 10 = 6 + 4; 15 = 10 + 5; 21 = 15 + 6. Тогда зависимость будет такая: *n=*n-i + ("- DБ. Каждое следующее число прямых хп равняется половине произведения соответствующего ему числа точек п и предыдущего им числа п- 1:

Значит, х„ = (,1-1)л " 2

В. Каждое следующее число прямых хп равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу п: 3 = 1 + 2; 6 = 1 + 2 + 3; 10 = 1 + 2 + 3 +4; 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5; 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6. Значит, хп = 1 + 2 + 3 + ... + (п 1).

  • 3. Решение задачи заключается в доказательстве выдвинутых гипотез. Заметим, что хп = + (п - 1) = х„_2 + (п - 2) + (п - 1) = хп_3 + (п -
  • 3) + (п - 2) + (п - 1) = ... = + (п - (п - 1)) + ... + (п - 3) + (п - 2) +
  • (п - 1) = 1 + 2 + 3 + ... + (п - 1). Получили, что первая и третья гипотезы

равносильны. Кроме того, 1 + 2+3 + ... + (гс-1) = ^ П. Значит, вторая

и третья гипотеза тоже равносильны, и можно провести доказательство любой из трех гипотез.

Проводятся доказательные рассуждения по обоснованию третьей гипотезы. Пусть на плоскости отмечено п точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Тогда число всех прямых, проходящих через 1-ю точку, равно п -1; число прямых, проходящих через 2-ю точку, будет п - 2 (так как прямая, проходящая через 2-ю и 1-ю точки, уже посчитана); через третью точку — п - 3 и т.д., через (п - 1)-ю точку будет проходить всего одна неучтенная нами прямая. Значит, число всех прямых, проходящих через п точек (при условии, что никакие три точки не лежат на одной прямой), будет равняться сумме последовательных натуральных чисел от 1 до (п - 1), т.е. хп = 1 + 2 + 3 + ... + (п - 1), что и требовалось доказать.

  • 4. Учащиеся осуществляют проверку найденного решения: число прямых, проходящих через семь точек, среди которых никакие три не лежат на одной прямой, будет 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.
  • 5. Вывод: рассуждения ученика, решавшего задачу, являются ошибочными.

Помощь в осуществлении поиска решения подобных задач при выполнении учебного исследования учащимися оказывают специальные листы с печатной основой, которые мы назвали «карта исследователя», пример которой покажем для следующей задачи (рис. 4.7).

Задача 8. В шахматном турнире участвовало пять человек. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Описанные этапы решения задачи 7 положены нами в основу предлагаемой учащимся карты исследователя для решения задачи 8. Подобные карты помогают учащимся усвоить процедуру исследования. Кроме того, карта исследователя обладает важной особенностью: она позволяет учителю варьировать меру самостоятельности при выполнении учебных исследований и уровень сложности осуществляемых исследований.

Пример карты исследователя

Рис. 4.7. Пример карты исследователя

Самостоятельное выявление проблемы и ее разрешение, формулирование гипотезы исследования и проведение ее доказательства, когда учащиеся находятся в положении первооткрывателей, определяют высокий уровень развития творческой самостоятельности. Поэтому при организации и проведении учебных исследований было необходимо постепенное увеличение доли самостоятельности. Постепенный переход учащихся от нулевого уровня творческой самостоятельности к высокому можно реализовать следующим образом: в исследовательском задании или в предлагаемой исследовательской карте необходимо предусмотреть подсказки хода решения задачи, обращения к вспомогательной задаче, указывать направление поиска и т.п., т.е. осуществлять дозированную помощь ученику.

При формулировке проблемы можно организовать деятельность учащихся в зависимости от способностей и уровня творческой самостоятельности самого ученика, а именно:

  • а) проблема формулируется полностью учителем;
  • б) проблема формулируется учителем частично, наводя ученика на основную идею и позволяя ученику доформулировать ее самостоятельно;
  • в) проблема формулируется полностью самостоятельно учеником.

Покажем указанные случаи формулировки проблемы на примере.

Задача 9. В некотором государстве банк имеет неограниченное

количество трех- и пятирублевых купюр. Может ли банк выплатить ими без сдачи любое целое число рублей, начиная с восьми?

  • 1. Проблема. Представить любое натуральное число, начиная с восьми, в виде суммы со слагаемыми 3 или 5.
  • 2. Проблема. Представить любое натуральное число_в виде

суммы_.

3. Проблема._.

Таким образом, максимальный развивающий эффект достигается

при абсолютной самостоятельности анализа учащимися имеющейся информации по рассматриваемому вопросу. В этом случае объем анализируемой информации регулируется самим учеником, который ориентируется на свои знания и умения. Однако такое возможно не всегда. Присутствие в карте исследователя направления анализа или подсказки делает данный этап исследования доступным для большинства учеников.

Особо подчеркнем роль проблемно-поисковых задач, решение которых связано с переводом их условия на математический язык, с умением строить, исследовать и применять модели.

Задача 10. Как изменится сумма, если: 1) одно из слагаемых увеличить: а) на две единицы; б) в два раза; 2) каждое из слагаемых увеличить: а) на две единицы; б) в два раза. Ответы обоснуйте.

Задача 11. а) Найдите одну пятую от одной пятой километра, б) Что больше: половина одной трети или одна треть половины?

Проблема: для сравнения необходимо переформулировать задачу на математический язык.

Решение задач различными методами, самостоятельное составление задач создают в сознании учащихся проблемную ситуацию (дети сами выявляют проблему), что обеспечивает не только сознательное усвоение понятий и алгоритмов, но и развивает творческую самостоятельность учащихся.

Учебное исследование по самостоятельному составлению задач для учащихся 5—6-х классов может проводиться по следующим направлениям.

  • 1. Придумать такую задачу по изучаемой теме, чтобы она имела несколько способов решения. Например, решалась арифметическим и алгебраическим способами.
  • 2. Иллюстрировать математическое правило или понятие. Например, правила действий с обыкновенными дробями, сравнение обыкновенных дробей и т.д.
  • 3. По данной заданной ситуации придумать разумные вопросы (определить требование задачи) и ответить на них.
  • 4. Составить задачу, обратную данной, не меняя сюжета или изменив сюжет. Например, по задаче «на движение» составить обратную задачу, но «на работу». И т.д.

Приведем примеры заданий, предполагающих исследование учащимися изучаемого учебного материала с целью тематического составления задач.

V, км/ч

t, ч

5, КМ

Объект 1

?

11

572

Объект 2

?, в 1,5 раза >

?, на 3 <

?

  • 2 13
  • 1. Во сколько раз каждое из чисел —; —; — меньше числа, которое

для него является обратным? Придумайте числа, которые меньше своего обратного числа в четыре раза.

Проблема: определить в общем виде зависимость между а и Ь,

а b ,

при которой — меньше — в четыре раза; в к раз. b а

2. По данному условию (см. таблицу) составьте письменно текст задачи, а затем решите задачу, составив выражение.

Составьте выражение, являющееся решением аналогичной задачи, несколько изменив сюжет.

Самостоятельное конструирование задач учениками предполагает использование большого объема информации, применение рассуждений, обратных при решении уже известных задач, открытие новых связей между математическими объектами рассматриваемой задачи. При составлении задач у учащихся развивается творческая самостоятельность. Давая школьникам возможность внести свой вклад в поиск рационального условия и соответствующего требования задачи, учитель не только прививает им творческие, изобретательские умения, но и развивает математическое мышление (логический склад ума). Тем не менее не следует доводить процесс самостоятельного составления задачи до навыка, потому как всякий шаблон в конструировании губит главное, ради чего такие учебные исследование вводятся, — творческую мысль ученика.

На написание домашних математических сочинений должно быть предоставлено достаточно времени — это зависит от темы, объема работы. Целесообразно предложить ученикам несколько тем сочинений, предоставив им право выбора одной из них. Каждая тема должна быть прокомментирована. Для первых сочинений даются примерные планы.

На предварительном этапе учителю необходимо обсудить с учениками, что представляет собой математическое сочинение, как над ним работать, что может быть в его содержании. В кабинете математики можно вывесить список рекомендуемой литературы, которой учащиеся могут воспользоваться при выполнении исследовательской работы. Также возможна организация выставки книг и журналов, соответствующих теме урока. В процессе работы над сочинением ученики могут самостоятельно подбирать дополнительную литературу. Более того, их к этому нужно приучать. В период написания домашних математических сочинений по мере надобности проводятся индивидуальные консультации для учащихся.

Наиболее интересны и ценны те сочинения, при составлении которых ученик выполнил некоторые исследования, подметил свойства тех или иных фигур, самостоятельно доказал какие-либо математические предложения, предложил несколько способов решения одной задачи.

Например, при написании сочинения на тему «Из истории измерений» (5-й класс) одним из учеников была рассмотрена следующая задача, в условии которой использовались единицы длины из Древнего Вавилона (ок. 2000 лет до н.э.).

Задача 12. Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе — 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?

Пятиклассник предложил следующие способы решения.

Способ 1. Обозначим через а длину, а через Ъ — ширину. Из условия задачи и принятых обозначений получаем буквенные выражения

а+—Ь = 7 и а + Ь = 10. Сравним их: левая часть первого выражения

3 3

на —Ь меньше второго, а правая часть — на 3. Значит, на —Ь приходится 3 ладони, а на всю ширину 3:3-4 = 4 (ладони), а длина будет 10 - 4 = 6 (ладоней).

Способ 2. Обозначим через а длину, а через b — ширину. Из условия задачи и принятых обозначений получаем буквенные выражения а+—Ь-7 и а + Ь = 10. Выразим из первого выражения а = 7-—Ь и подставим полученное буквенное значение а во второе выражение: |V"bj+b = 10. Решая уравнение относительно Ъ, получаем, что Ъ = 4 и а = 6.

Способ 3. Составим схематические модели:

длина *_*;

ширина *_*_*_*_* (10 ладоней); длина + ширина *_*_*_*_*_*;

длина + — ширины *_*_* (7 ладоней);

4

Ответ: 6 ладоней — длина и 4 ладони — ширина.

Тематика математических сочинений, предлагаемых в качестве домашнего учебного исследования, необязательно должна быть связана с изучаемым программным материалом. Особенностью выполнения этого вида исследования является единение дидактического принципа целостного представления о мире и принципа творчества. При написании математического сочинения могут раскрываться вопросы из истории математики (из жизни знаменитых математиков, великие математические открытия и т.п.), систематизация и обобщение изученной математической темы, рассмотрение нескольких способов решения одной задачи, описание чертежей, размышления о роли и месте математики в жизнедеятельности человека и т.д. Результаты выполнения такого учебного исследования могут быть представлены учащимися в виде устного сообщения или оформленного реферата.

Учебный проект является наиболее трудоемким домашним учебным исследованием, поэтому в 5—6-х классах возможна групповая форма работы над выполнением проекта. Под учебным проектом мы подразумеваем вид творческой работы учащихся, в котором предлагается разработка замысла, идеи, детальное рассмотрение практической задачи, лабораторное исследование и т.д., оформление результатов работы и защита проекта (презентация). Темы учебных проектов учащиеся могут предлагать сами, участвуя в коллективном обсуждении, или выбирать предложенные учителем.

Выполнение учащимися учебного проекта предусматривает разнообразные методы и формы учебной работы, поскольку достижение основной цели проекта предполагает решение частных задач. При этом осуществляется личностно-ориентированный подход к организации такого учебного исследования, когда участник проекта разрабатывает отдельную его часть, с учетом своих склонностей и интересов.

Например, выполнение учебного проекта по теме «Проценты» (6-й класс) обусловливает поисково-исследовательскую деятельность ребят в таких направлениях, как история (написание математического сочинения «Откуда возникли проценты»), социология (определение тематики и самостоятельное составление задач на проценты), математика (рассмотрение различных способов решения задач на проценты), русский язык (редактирование), художественный дизайн и информатика (оформление, создание компьютерной презентации полученных результатов исследовательской работы) и т.д.

Выполнение домашнего исследования данного вида соответствует следующей последовательности (табл. 4.7).

Как показывает анализ педагогической деятельности, использование компьютерных средств и технологий при выполнении исследовательской работы заинтересовывает даже слабо успевающих по математике учеников и способствует в дальнейшем развитию познавательной активности и интереса при изучении математики.

Таблица 4.7

Деятельность учащихся и педагога при организации учебного проектирования

Номер

этапа

Этап

Задачи этапов исследования

Деятельность

учащихся

Деятельность педагога

1

Начинание

Определение темы, уточнение целей, исходного положения. Выбор рабочей группы

Уточняют информацию.

Обсуждают задание

Мотивирует учащихся. Объясняет цели проекта.

Наблюдает

2

Планирование

Анализ проблемы. Определение источников информации. Постановка задач и выбор критериев оценки результатов, ролевое распределение в команде

Формируют проблему, задачи. Уточняют информацию (источники).

Выбирают и обосновывают свои критерии успеха

Помогает в анализе и синтезе (по просьбе). Наблюдает

3

Принятие

решения

Сбор и уточнение информации. Обсуждение альтернатив («мозговой штурм»). Выбор оптимального варианта. Уточнение планов деятельности

Работают с информацией.

Проводят синтез и анализ идей. Выполняют исследование

Наблюдает.

Консультирует

4

Выполнение

Выполнение проекта

Выполняют исследование и работают над проектом. Оформляют проект

Наблюдает. Советует (по просьбе)

5

Рефлексия

Анализ выполнения проекта, достигнутых результатов (успехов и неудач) и причин этого. Анализ достижения поставленной цели

Участвуют в коллективном самоанализе проекта и самооценке

Наблюдает. Направляет процесс анализа (если необходимо)

6

Защита

проекта

Подготовка доклада (презентации); обоснование процесса проектирования, объяснение полученных результатов. Коллективная защита проекта. Оценка

Защищают проект.

Участвуют в коллективной оценке результатов проекта

Участвует в коллективном анализе и оценке результатов проекта

Этап 4. Успех исследовательской деятельности учащихся в основном обеспечивается правильным планированием видов и форм заданий, использованием эффективных систем заданий, а также умелым руководством учителя этой деятельностью. Раскрывая роль учителя в организации учебного исследования, отметим следующую систему его действий:

  • • умение выбрать нужный уровень сложности учебного исследования в зависимости от уровня развития мышления учащегося;
  • • умение сочетать индивидуальные и коллективные формы проведения исследований в домашней работе;
  • • умение формировать проблемные ситуации в зависимости от уровня учебного исследования, его места в программе курса и от цели урока.

Учитель должен выступать не столько в роли интерпретатора науки и носителя новой информации, сколько умелым организатором систематической самостоятельной поисковой деятельности учащихся по получению знаний, приобретению умений и навыков и усвоению способов умственной деятельности.

Если у школьников возникают затруднения в поиске решения задачи, учитель может предложить к рассмотрению более простую вспомогательную задачу или вопросы, наводящие на верный путь решения. Выступая в роли консультанта, педагог в дальнейшем должен давать лишь самые общие указания о направлении учебного исследования.

«Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею... Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания», — отмечал Д. Пойа1. Следует четко определять дозирование помощи и не торопиться с подсказками, так как возможно помешать развитию творческой самостоятельности и нестандартности мыслительной деятельности.

Д. Пойа различает внутренние и внешние подсказки. Первые таковы, что они как будто извлекают у учащихся их собственные мысли, вторые (более грубые) подсказки оставляют учащимся лишь выполнение технической работы, снимая потребность поиска. Естественно, что руководство поиском учащихся требует хорошей методической подготовки, разработки для каждого планируемого учебного исследования соответствующей системы вопросов и указаний, «подталкивающих» учащихся по направлению поиска.

Существующая проблема стойкой привычки учащихся к неумеренной помощи родителей при выполнении домашних заданий и творческих работ наносит ущерб интеллектуальному развитию ребенка, приводит к отсутствию умения и привычки обращаться к энциклопедиям, дополнительной научно-популярной и учебной литературе, тормозит развитие самостоятельности, ответственности за собственные решения и поступки[7] [8].

Пути разрешения этой проблемы видятся нам в следующем:

  • • необходимо разъяснять родителем ошибочную линию поведения при оказании помощи своему ребенку;
  • • нужно контролировать степень самостоятельности школьников в выполнении домашних заданий;
  • • целесообразно предлагать учащимся задания по работе со справочниками, а также исследовательские задания, подготовку сообщений, сочинений по материалам дополнительной литературы.

Учитывая структуру, признаки учебного исследования, методическая работа по обучению решения проблемно-поисковых задач проводится сообразно таким этапам.

  • 1. Анализ условия задачи и выявление проблемы.
  • 2. Поиск плана решения задачи и формулировка гипотезы.
  • 3. Осуществление решения задачи (доказательство или опровержение выдвинутой гипотезы).
  • 4. Проверка решения и его исследование.
  • 5. Вывод и оценка полученного результата.

Работа учащихся по выполнению учебных исследований в домашней работе может проходить в трех направлениях:

  • 1) все учащиеся работают над одной проблемой;
  • 2) учащиеся, в зависимости от уровня развития творческой самостоятельности, работают над разрешением разных частных проблем, причинно не связанных между собой;
  • 3) разные учащиеся работают над проблемами, решение каждой из которых является ступенькой для решения последующих.

Методическими особенностями выполнения учебных исследований на нулевом уровне развития творческой самостоятельности является пропедевтическая работа:

  • а) повторение учащимися дома учебного исследования, проведенного учителем в классе;
  • б) проведение домашнего исследования по подробному плану, предложенному учителем.

Этап 5. Итоговый анализ, или этап рефлексии учебной деятельности, является одним из основных в процедуре проектирования системы домашних учебных исследований. С одной стороны, этап предполагает рефлексию собственной деятельности учителя, с другой — осознание учащимися метода собственной учебно-исследовательской деятельности. Рефлексия деятельности учителя направлена не только на достижение конечного результата, но и на построение внутренних средств, с помощью которых возможна регуляция интеллектуальной деятельности, т.е. своих гипотез, схем, моделей, позволяющих более эффективно организовать процесс поиска. Учитель также должен продумать последовательность действий учащихся, способствующую организации и формированию их рефлексивной деятельности, дать практические рекомендации по проведению домашних учебных исследований и т.д.

Рефлексия обеспечивает саморегуляцию, бесперебойность и управление протеканием деятельности как через ее корректировку, так и через оценку возможностей для устранения разрывов и даже переориентировку поиска для решения творческой задачи. Рефлексивный компонент выступает как фактор организации мышления[9]. Наличие рефлексии позволяет проводить процесс выполнения домашнего исследования в виде такого алгоритма:

  • 1) установи, в чем существенное отличие новой ситуации от ранее известных ситуаций;
  • 2) найди метод (способ, инструмент), позволяющий осуществить переход от неизвестного к известному;
  • 3) примени этот метод;
  • 4) определи границы применения проведенного исследования.

Учитель, формируя рефлексию учебной деятельности учащихся,

формирует в их сознании алгоритм самостоятельного выхода из затруднения, который отличается у детей с разным типом мышления. Как показывает эксперимент, ребенок-«логик» запоминает структуру деятельности, а «образник» запоминает состояние успеха и стремится к нему. Таким образом, каждый школьник получает инструмент саморазвития, который помогает ему стать творцом себя.

Любое домашнее задание — если школьник выполняет его самостоятельно — оказывает комплексное воздействие на развитие личности. В этом заключен потенциал домашнего задания для развития творческой самостоятельности. Но не каждый вид деятельности в равной степени обусловливает и развивает определенные качества личности. Прежде всего развиваются те черты личности, которые испытывают особую нагрузку в данной деятельности. В этом ключ к целенаправленному воспитанию личности. Если цель домашнего задания — развить конкретные личностные качества, то прежде всего следует определить, какой именно вид деятельности требует интенсивного проявления этих качеств.

Каждая задача, поставленная в этой связи учителем, выдвигает требования, аналогичные описанным нами ранее. В учебнике ряд задач — как правило, от простого к сложному — построены таким образом, что ученик проходит через все ступени возрастающих трудностей, необходимых для его развития. Давая такие домашние задания, необходимо учитывать, повлияет ли данное требование на каждого отдельного ученика ожидаемым образом и как оно соотносится с конкретным уровнем развития этого ученика.

Так, школьники, не овладевшие навыками чтения или основными математическими операциями сложения и деления, будут испытывать большую нагрузку, чем школьники с хорошо отработанными навыками. Отставание в развитии будет расти, если не помочь ребенку своевременно преодолеть его.

И наоборот, на учеников с высокой степенью обученности развивающее действие домашнее задание окажет лишь тогда, когда объективные требования несколько завышены (сложные задачи) или иначе акцентированы (например, самостоятельно составить задачу, написать математическое сочинение).

Зона ближайшего развития (Л. С. Выготский), в которой возможно сотрудничество учителя с обучаемым, состоит из двух зон: зоны актуального обучения и зоны творческой самостоятельности1. В этой связи можно сформулировать следующую закономерность: домашние задания выполняют развивающую функцию лишь в том случае, если они действуют в зоне творческой самостоятельности, в которой ученик самостоятельно экстраполирует усваиваемые в сотрудничестве с учителем знания и умения. Это относится не только к знаниям и умениям, но и вообще ко всем качествам личности. Л. М. Фридман отмечает, что развивающая эффективность обучения прямо пропорциональна обширности создаваемой им зоны творческой самостоятельности и обратно пропорциональна обширности зоны актуального обучения, в которой учитель в каждый данный момент может реально оказать помощь тому или иному ученику в обучении[10] [11].

В заключение отметим, что воспитательно-развивающую функцию домашних учебных исследований по математике, вовлекающих учащихся в поисково-исследовательскую учебную деятельность, можно определить прежде всего как развитие и воспитание творческой самостоятельности, целеустремленности, самоорганизации, волевых и моральных качеств личности учащегося. На этапе обучения математике в 5—6-х классах домашние учебные исследования могут и должны применяться для изучения отдельных тем, вопросов. Для того чтобы знания учащихся были результатом их собственных поисков, управляемых учителем, их самостоятельной познавательной деятельности, необходимо организовать эти поиски, развивать творческую самостоятельность учащихся, что, несомненно, более сложно и требует методической подготовки более высокого уровня, чем объяснение изложенного в школьном учебнике материала и требование его заучивания учащимися.

  • [1] Кабанова-Меллер Е. Н. Учебная деятельность и развивающее обучение. М. : Знание, 1981; Ее же. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М. : Просвещение, 1968.
  • [2] Крупич В. И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе(методические разработки по спецкурсу для слушателей ФПК). М. : Изд-во МГПИ имениВ. И. Ленина, 1992.
  • [3] Пышкало А. М. Методика обучения элементам геометрии в начальных классах :пособие для учителей. 2-е изд., испр. и доп. М. : Просвещение, 1973.
  • [4] Епишева О. Б. Технология обучения математике на основе формирования приемовучебной деятельности учащихся. Теоретические основы. С. 96.
  • [5] Лернер И. Я., Скаткин М. Н. О методах обучения.
  • [6] Шиянов Е. Н., Котова И. Б. Развитие личности в обучении : учеб, пособие для студентов пед. вузов. М. : Академия, 1999. С. 245.
  • [7] ПойаД. Как решать задачу // Квантор. Львов. 1991.
  • [8] Там же.
  • [9] Шаров А. С. Психология образования и развития человека.
  • [10] Выготский Л. С. Избранные психологические исследования.
  • [11] Фридман Л. М. Учитесь учиться математике.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >