Многономенклатурная модель при наличии нескольких ограничений.

Определение показателей многономенклатурной модели с независимыми поставками с одним или несколькими ограничениями вида

п П р

Y,Qi8i и ? — использованием метода неопределенных множите- i=1 i=1 Qi

лей Лагранжа может быть сведено к задаче без ограничений или задаче с меньшим количеством ограничений, поскольку некоторые из них могут оказаться несущественными (нежесткими). В этом случае будет достаточно решить задачу только для активных ограничений.

Таким образом, в случае независимых поставок из одного источника снабжения при наличии нескольких ограничений оптимальные параметры поставки для каждой номенклатуры следует находить с помощью алгоритма, приведенного на рис. 7.1.

Покажем, как пользоваться алгоритмом, представленным на рис. 7.1.

? Пошаговые действия

Найдем оптимальные показатели многономенклатурной модели EOQ с независимыми поставками от одного поставщика и несколькими совместными ограничениями:

  • а) на капитал, выделяемый для приобретения запасов, равный 18 000 у.е., и на занимаемую этими запасами площадь склада, равную 100 м2;
  • б) на капитал, равный 25 000 у.е., и на максимальное число размещаемых у поставщика в течение года заказов, равное 52 заказам;
Алгоритм нахождения оптимальных показателей многономенклатурной модели с независимыми поставками из одного источника снабжения при наличии двух или трех совместных ограничений

Рис. 7.1. Алгоритм нахождения оптимальных показателей многономенклатурной модели с независимыми поставками из одного источника снабжения при наличии двух или трех совместных ограничений

в) на капитал (25 000 у.е.), на площадь склада (100 м2) и на максимальное число заказов (52 заказа).

Данные для выполнения расчетов представлены в табл. 7.10. Затраты на хранение рассчитываются как доля от стоимости половины закупаемых партий продукции.

Таблица 7.10

Исходные данные для расчетов

Входные параметры модели

Продукт № 1

ПРОДУКТ

№2

Про

дукт

№3

Потребность в заказываемом продукте Д, ед.

1000

6300

2750

Затраты на организацию заказа Сш, у.е/заказ

40

32

35

Рассматриваемый период Д, да.

365

Доля затрат на хранение от цены единицы продукции, /

0,2

Цена единицы продукции Сш, у.е.

98

45

30

Площадь склада, приходящаяся на единицу продукции It,, м2/ед.

0,1

0,4

0,2

Коэффициент, введенный для учета неодновременности поступления 1 видов продукции, р

1

Рассмотрим ситуацию «а». Согласно алгоритму на рис. 7.1 после того как сформирована база исходных данных (см. табл. 7.10) и определены количество и вид ограничений (два ограничения: на капитал В и на площадь склада 5), необходимо проверить, удовлетворяют ли показатели модели без ограничений заданным ограничениям, т.е. проверить ограничения на существенность.

Для этого рассчитаем оптимальные размеры заказа каждого продукта без учета ограничений на капитал В и площадь склада S:

Общие затраты на приобретение оптимальных партий трех видов продукции будут равны:

Так как общая стоимость закупаемых партий превышает величину финансовых ресурсов (18 000 у.е.), которые планируется вложить в запасы, ограничение на капитал является существенным.

Общая площадь, занимаемая тремя партиями на складе, будет равна

Так как суммарная площадь, занимаемая оптимальными партиями на складе, превосходит ограничение на максимальную площадь склада

(100 м2), то, следовательно, указанное ограничение также является существенным, следовательно, найденные размеры заказа не являются оптимальными.

Далее необходимо проверить, к какому виду ограничений относятся заданные ограничения. В данной ситуации речь идет об ограничениях вида

п

Y^Qigi - соответственно, следующим шагом необходимо найти показа- /=1

тели модели для первого из двух ограничений, а затем проверить, удовлетворяют ли они второму ограничению.

Решим задачу при наличии только одного ограничения на капитал. Для нахождения оптимальных размеров заказа трех продуктов с учетом ограничения на капитал воспользуемся формулой (7.31):

Для рассчитанных размеров заказа пересчитаем величину затрат на приобретение:

Очевидно, что полученное значение меньше ограничения на капитал (18000 у.е.).

Проверим, удовлетворяют ли полученные оптимальные размеры заказа с учетом ограничения на капитал ограничению на площадь склада:

Суммарная площадь, занимаемая оптимальными партиями на складе, превосходит ограничение на максимальную площадь склада (100 м2), следовательно, рассчитанные размеры заказа не являются оптимальными. Следуя алгоритму, найдем показатели модели EOQ при наличии только ограничения на площадь склада.

Для определения оптимальных размеров заказа воспользуемся формулой, в которой неопределенный множитель Лагранжа 2 может быть найден с помощью метода Ньютона:

Зададим начальное значение множителя Лагранжа z0 = 0. Найдем новую оценку множителя zx = z0 + Az, где Az найдем из выражения

Г /

Zj — z0 =Az = — 0 , воспользовавшись формулами:

/ (го)

Результаты промежуточных вычислений, направленных на поиск оптимального множителя Лагранжа, представлены в табл. 7.11.

Таблица 7.11

Промежуточные расчеты по поиску оптимального значения множителя Лагранжа z

*0

/Оо)

А 2

*1

0

-26,88

-5,39

-5,39

-5,39

-6,56

-2,28

-7,67

-7,67

-0,58

-0,24

-7,91

-7,91

-0,01

-0,003

-7,913

-7,913

0

0

-7,913

Для найденного оптимального множителя Лагранжа 2 = -7,913 рассчитаем оптимальные партии заказа по формуле (7.49):

Для рассчитанных размеров заказа пересчитаем занимаемую закупаемыми партиями площадь склада:

Очевидно, что полученное значение удовлетворяет ограничению на площадь склада (100 м2).

Найденные показатели являются оптимальными и удовлетворяют обоим ограничениям. Проиллюстрируем это, рассчитав величину затрат на приобретение

которая, очевидно, меньше заданного ограничения на капитал (18 000 у.е.). Рассчитаем остальные оптимальные показатели модели:

• количество поставок:

• интервал между поставками:

• минимальные переменные затраты на управление запасами:

Рассмотрим ситуацию «б». В данном случае задано два ограничения: на капитал В и на максимальное число заказов h. Далее необходимо проверить, удовлетворяют ли показатели модели без ограничений заданным ограничениям, т.е. проверить ограничения на существенность.

Оптимальные размеры заказа без ограничений были рассчитаны при рассмотрении предыдущей ситуации «а». Проверим, являются ли найденные значения оптимальными.

Общие затраты на приобретение оптимальных партий трех видов продукции будут равны

Общая стоимость закупаемых партий меньше величины финансовых ресурсов (25 000 у.е.), выделенных на приобретение запасов, следовательно, ограничение на капитал не является существенным ограничением.

Рассчитаем количество поставок (заказов) для каждого вида продукции следующим образом:

Так как общее число заказов в течение года составляет 61, что превышает установленную величину на количество размещаемых заказов (52 заказа), то данное ограничение является существенным, а найденные партии заказа не являются оптимальными.

Следовательно, необходимо продолжить вычисления и на следующем этапе алгоритма определить вид заданных ограничений. Ограничение на капитал В относится к ограничению вида XQ/Я/ а ограничение

п о-. *=1

на количество заказов h — к ? — Это означает, что на следующем шаге

^ « ,=1Q

необходимо наити показатели модели при наличии только одного ограничения, а именно на максимальное количество заказов, воспользовавшись формулами (7.45) и (7.46):

Далее в качестве нового начального значения множителя Лагранжа примем полученное выше значение 01? таким образом, новое значение 0О = = -9,97. Вычисления повторяются до тех пор, пока /(0О) = 0. Результаты промежуточных вычислений, направленных на поиск оптимального множителя Лагранжа, представлены в табл. 7.12.

Таблица 7.12

Промежуточные расчеты по поиску оптимального значения множителя Лагранжа 0

00

/(0 о)

ДО

0,

0

8,77

-9,97

-9,97

-9,97

1,54

-2,56

-12,53

-12,53

0,07

-0,12

-12,65

-12,65

0

0

-12,65

Для найденного оптимального множителя Лагранжа 0 = -12,65 рассчитаем оптимальные партии заказа по формуле (7.53):

Тогда количество поставок (заказов) для каждого вида продукции будет равно

Очевидно, что общее число заказов 14 + 25 + 13 = 52 удовлетворяет установленному ограничению на максимальное число размещаемых в течение года заказов (52 заказа).

Далее необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения размеров заказа ограничению па капитал:

Хотя общая стоимость закупаемых партий и возросла но сравнению со стоимостью, рассчитанной для модели без ограничений, она при этом все равно меньше величины финансовых ресурсов (25 000 у.е.), которые планируется вложить в запасы. Следовательно, найденные размеры заказа только при наличии ограничения на h являются оптимальными.

Рассчитаем остальные оптимальные показатели модели:

• интервал между поставками:

• минимальные переменные затраты на управление запасами можно рассчитать по формуле (7.47):

Рассмотрим ситуацию «в». В данной задаче имеются три ограничения: на капитал В, на площадь склада S и на максимальное число заказов h. Далее необходимо проверить, удовлетворяют ли показатели модели без ограничений заданным ограничениям, т.е. проверить ограничения на существенность.

Проверка размеров заказа, рассчитанных для модели без ограничений, на оптимальность, выполненная в предыдущей ситуации «б», показала, что ограничение на капитал является несущественным, а ограничение на количество заказов — существенным. Аналогичная проверка, выполненная при рассмотрении ситуации «а», подтвердила, что и площадь склада также является существенным ограничением. Следовательно, найденные размеры заказа для модели без ограничений не являются оптимальными.

Далее, следуя алгоритму (см. рис. 7.1), убеждаемся, что три заданных ограничения относятся к разным видам, а именно: ограничения на капип

тал и площадь склада — это ограничения вида XQ/S'/ а ограничение

П (У. 1=1

на количество заказов имеет вид ? —

ы 1 Ол

Следовательно, необходимо найти показатели модели при наличии ограничения только на количество заказов, размещаемых в течение года, и проверить, удовлетворяют ли они двум другим ограничениям. Данные расчеты и проверка для ограничения на вложенный капитал были выполнены в предыдущей ситуации «б», при этом найденные значения ограничению на капитал удовлетворяли.

Теперь проверим, что найденные значения размеров заказа при наличии только ограничения на h удовлетворяют ограничению на площадь склада:

Суммарная площадь, занимаемая оптимальными партиями на складе, превосходит ограничение на максимальную площадь склада (100 м2), следовательно, найденные размеры заказа не являются оптимальными.

Это в свою очередь означает, что задача решения не имеет, т.е. невозможно найти такие оптимальные партии, которые бы одновременно удовлетворяли всем трем заданным ограничениям. Это связано с тем, что попытка удовлетворить ограничение на площадь склада приведет к необходимости уменьшения величин оптимальных партий, что в свою очередь вызовет увеличение числа размещаемых заказов, и, как следствие, к невыполнению ограничения на максимальное число размещаемых заказов. <

Помимо рассмотренных ранее непрямых численных методов решения задач нелинейного программирования, для расчета показателей многономенклатурных моделей с независимыми поставками и любым количеством ограничений также можно использовать прямые численные методы решения задач нелинейного программирования. К ним относятся метод проекции градиента, метод условного градиента, метод возможных направлений[1], метод проецируемых градиентов, метод линеаризации и некоторые другие, т.е. различные разновидности градиентных методов.

  • [1] Карманов В. Г. Математическое программирование : учеб, пособие. 5-е изд., стереотип.М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >