Многономенклатурные модели EOQ с поставками из нескольких источников снабжения при наличии общих ограничений
Многономенклатурная модель EOQ с независимыми поставками от нескольких поставщиков и совместными ограничениями.
При рассмотрении данной модели остановимся более подробно на случае, когда независимо друг от друга закупаются материальные ресурсы из нескольких источников, и существует ограничение на бюджет закупки.
На первом этапе рассчитываются оптимальные партии поставок Qo/y но каждому j-му виду продукции (J = 1,..., и,-), поставляемому от /-го поставщика, с помощью классической модели EOQ.

На втором этапе сравниваются фактические затраты, связанные с приобретением многономенклатурной продукции у нескольких поставщиков, и капиталом В, который предполагается единовременно вложить в запасы этой продукции:
где k — коэффициент, введенный для учета неравномерности поступления j-x видов продукции; 0 < k < 1, может быть принят равным 0,5.
Если неравенство (7.98) соблюдается, то поставки осуществляются в объемах, рассчитанных на первом этапе. Соответственно, переменные затраты на выполнение заказа и хранение при многопоменклатурных независимых поставках продукции от нескольких поставщиков определяются по формуле

Третий этап выполняется, когда не соблюдается неравенство (7.98). Для расчета оптимальных значений Qoi применяется метод множителей Лагранжа.
В качестве критерия оптимизации принимается минимум общих затрат на управление запасами Свключающих затраты на приобретение Сппр, затраты на выполнение заказов С3 и затраты на хранения запасов на складе Сх.
Исходное уравнение — функция Лагранжа — записывается в виде:

где i — индекс, указывающий порядковый номер поставщика, / = 1, ..., т;
j — индекс, указывающий порядковый номер вида продукции, заказываемого у /-го поставщика,^ = 1,..., п;, т — количество поставщиков;
ni — количество видов продукции, заказываемых у /-го поставщика;
Ajj — потребность в заказываемом продукте;
Qij — искомая величина заказа, ед.;
Cuij — цена единицы продукции;
/ — доля от цены единицы продукции, приходящаяся на затраты по хранению;
Cojj — затраты на оформление заказа и его транспортировку (принимаются постоянными для партии);
Cjj — составляющая затрат на выполнение заказа, которая зависит от объема выполняемых на складе операций с /-й номенклатурой при формировании заказа;
В — максимальный размер капитала, который предполагается вложить в запасы;
k — коэффициент, введенный для учета неодновременного заказа различных видов продукции;
z — множитель Лагранжа.
Оптимальные значения Qo// определяются из решения системы, включающей т • Tij уравнения вида dCs / dQ^ = 0 для каждого /-го поставщика j-го вида продукции и уравнения dCz / az = 0:

Из первого уравнения системы (7.101) получим выражение для расчета оптимальной партии, выраженное через неопределенный множитель Лагранжа г:

Подставим Оо» из (7.102) во второе уравнение системы (7.101)

Из выражения (7.103) находим множитель Лагранжа z


Подставляя (7.104) в (7.102), находим Q^:

Тогда при подстановке в исходное уравнение (7.100) находим минимальные общие затраты на управление запасами:

Остальные показатели модели оптимального заказа в условиях финансовых ограничений и при наличии нескольких источников многономенклатурных поставок могут быть найдены аналогично тому, как это делалось для классической модели EOQ.
? Разбор ситуации
Рассмотрим ситуацию, в которой известны: годовой спрос А& стоимость каждой единицы продукции Cni:y затраты на оформление (транспортировку) заказа С0% и затраты на складские операции с i-й номенклатурой при формировании заказа (табл. 7.33). Кроме того,/ = 0,2, k = 1, максимальные капиталовложения в запасы в любой момент времени не должны превышать В = 30 000 у.е., Д = 365 дн.
Таблица 733
Исходные данные по ситуации
Параметры |
Номер поставщика / номер продукта |
||||||
i/i |
1/2 |
1/3 |
2/1 |
2/2 |
3/1 |
3/2 |
|
Годовой спрос Ajj, ед. |
1000 |
500 |
2000 |
12000 |
25000 |
6000 |
9000 |
Стоимость единицы продукции Cnjj, у.е. |
70 |
100 |
50 |
30 |
40 |
60 |
70 |
Затраты на оформление заказа Cojj, у.е. |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
Затраты на складские операции с i-й номенклатурой при формировании заказа Си, у.е. |
2 |
4 |
6 |
3 |
5 |
6 |
2 |
Необходимо:
- • найти оптимальные параметры многономенклатурных независимых поставок из нескольких источников снабжения без ограничения на финансовые ресурсы и при наличии такого ограничения;
- • проанализировать, как учет ограничения влияет на изменение оптимальных параметров поставки.
На основе имеющихся данных, воспользовавшись классической формулой Харриса — Уилсона, рассчитаем оптимальные размеры заказа для каждого7-го вида продукции, закупаемого у г-го поставщика. Например, для первого вида продукции, закупаемого у первого поставщика, оптимальный размер заказа равен

Также рассчитаем другие оптимальные параметры поставок при отсутствии ограничения на капитал, такие как:
• оптимальное количество поставок:
• оптимальная периодичность поставок:
• переменные затраты на управление запасами в рассматриваемом периоде Д:
• общие затраты на управление запасами в рассматриваемом периоде:
Значения оптимальных параметров поставок остальных видов продукции для всех поставщиков представлены в табл. 7.34.
Таблица 734
Результаты расчетов оптимальных параметров многономенклатурных независимых поставок от нескольких поставщиков без ограничения
Параметры |
Номер поставщика / номер продукта |
Сумма |
||||||
i/i |
1/2 |
1/3 |
2/1 |
2/2 |
3/1 |
3/2 |
||
Размер партии поставки Оо», сд. |
56 |
35 |
102 |
303 |
395 |
161 |
168 |
— |
Количество поставок Nojj |
18 |
14 |
20 |
40 |
63 |
37 |
54 |
246 |
Периодичность поставок Toij, дн. |
20 |
26 |
18 |
9 |
6 |
10 |
7 |
— |
Переменные затраты на управление запасами ^перй» У е* |
785 |
693 |
1020 |
1820 |
3162 |
1935 |
2355 |
11770 |
Параметры |
Номер поставщика / номер продукта |
Сумма |
||||||
i/i |
1/2 |
1/3 |
2/1 |
2/2 |
3/1 |
3/2 |
||
Стоимость запа- сов Он,Г сшг У-е- |
3920 |
3500 |
5100 |
9090 |
15800 |
9660 |
11760 |
58830 |
Затраты на приобретение продукции за год V Сф У-е- |
70000 |
50000 |
100000 |
360000 |
1 000000 |
360000 |
630000 |
2 570000 |
Общие затраты на управление запасами С2, у.е. |
70785 |
50693 |
101020 |
361820 |
1003162 |
361 935 |
632 355 |
2 581770 |
Примечание. Величины Nojj, Топ, Су и Cnij округлены до целых значений.
Анализ табл. 7.34 показывает, что при независимых многономенклатурных поставках от каждого из поставщиков без ограничения на бюджет закупок общее количество поставок составит N^ = 246, периодичность поставок Toij для отдельных товаров колеблется в диапазоне от 6 до 26 дн., суммарные переменные затраты на транспортировку и хранение составляют 11 770 у.е., при этом суммарная величина общих затрат на управление запасами равна 2581,77 тыс. у.е.
Теперь решим ту же задачу, но в условиях наличия ограничения на единовременные капиталовложения в запасы. Поскольку условие (7.98)
m ni
не выполняется, так как В = 30 000 < 1 • X X QoijCnij = 58 830 (т.е. сум-
1=17=1
марная стоимость запасов, которые будут закуплены, превышают максимальный размер капитала В, который планируется вложить в запасы), необходимо применить расчетные формулы многономенклатурной модели с независимыми поставками от нескольких поставщиков при наличии совместных ограничений.
Проведем расчеты оптимальных параметров на примере первого вида продукции, закупаемого у первого поставщика, а именно:
• оптимального размера заказа:
где
• оптимального количества поставок:

• оптимальной периодичности поставок:

Значения оптимальных параметров поставок остальных видов продукции для всех поставщиков при наличии финансового ограничения представлены в табл. 7.35.
Таблица 735
Результаты расчетов оптимальных параметров многономенклатурных независимых поставок от нескольких поставщиков при наличии ограничения на максимальные капиталовложения в запасы в любой момент времени
Рассчитаем также величину суммарных переменных и общих затрат на управление запасами всех видов я, продукции, поставляемых от всех т поставщиков для случая с ограничением на капитал:
• переменные затраты на управление запасами в рассматриваемом периоде Д:

• общие затраты на управление запасами в рассматриваемом периоде:

Параметры |
Номер поставщика / номер продукта |
Сумма |
||||||
i/i |
1/2 |
1/3 |
2/1 |
2/2 |
3/1 |
3/2 |
||
Размер партии поставки Qo,,, ед. |
28 |
18 |
52 |
155 |
201 |
82 |
86 |
— |
Количество поставок Noij |
36 |
28 |
38 |
77 |
124 |
73 |
105 |
481 |
Периодичность поставок, Tojj, дн. |
10 |
13 |
10 |
5 |
3 |
5 |
3 |
— |
Стоимость запасов Qo»/ * Сш/, у.е. |
1960 |
1800 |
2600 |
4650 |
8040 |
4920 |
6020 |
29 990 |
Таким образом, при учете ограничения на величину денежных средств, «замороженных» в запасах в любой момент времени, оптимальные параметры многономенклатурных независимых поставок от нескольких поставщиков изменились следующим образом:
- • оптимальный размер заказа Q^j и период между поставками Toij уменьшились в два раза;
- • количество поставок Noij возросло в два раза (суммарное количество — с 246 до 481 поставки);
- • суммарные переменные и общие затраты на управление запасами возросли на 23,6 и 0,6% соответственно. <