Теплопроводность плоской стенки при двухмерном температурном поле.

Рассмотрим конкретную задачу о теплопроводности в плоской стенке (рис. 13.7).

Пусть температурное поле стенки имеет вид Т = f(x,y), температура в направлении оси z (вдоль стенки) во всех точках имеет одно и то же значение. Когда температура не изменяется во времени, уравнение (2.64) преобразуется в уравнение Лапласа (V2Т = 0) и для данной задачи в избыточных температурах = Т - V) имеет вид:

Граничные условия первого рода:

где $ - искомая избыточная температура стенки; Та- температура боковых поверхностей стенки (постоянная); Т - температура нижнего торца (рис 13.7) стенки (постоянная).

Решением уравнения (13.42) будет уравнение (13.41), если в нем заменить абсолютную переменную температуру Т на избыточную $. Граничные условия (13.43) и (13.44) используем для определения постоянных коэффициентов Л, В, С, D уравнения (13.41).

Из первого граничного условия (13.43) следует, что при х = 0 и А = 0. Действительно при х = 0 3 = Г - Га = 0 , но cosx|x-0 = cosO = 1 (не равен

нулю), тогда коэффициент А должен быть равен нулю.

Так как нас интересуют нетривиальные решения (т.е. не равные нулю тождественно), то коэффициент В не может быть равным нулю. Поэтому при х - L требуем, чтобы sinAi. = 0.

Те значение к, при которых уравнение (13.42) имеет нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям (13.43), называются собственными значениями, а не-

Рис. 13.7. Схема плоской стенки при двухмерном температурном поле тривиальные решения этой задачи называются собственными функциями, соответствующими данному собственному значению.

Итак, kL - гту где п = 0, 1, 2, 3,....Следовательно, , k2 = -j-

, «71

= —,....

L

Из граничного условия (13.45) следует, что коэффициент С = 0 (так как при у -> оо, ехр(Ау) неограниченно возрастает). С учетом Л = 0 и С = О решение (13.41) примет вид:

где Е - BD.

Решение этого уравнения удовлетворяет дифференциальному уравнению (13.42) при любом натуральном значении «.

Из полученных решений (13.46) видно, что ни одно из них не удовлетворяет условию (13.44) ни при каком выборе Е = ?„, если Тха* 0. При Тх - Та = 0 единственным решением задачи будет тривиальное решение & = 0. С другой стороны, сумма любых двух (а значит, и любого конечного числа) решений линейного однородного дифференциального уравнения также является решением.

Оказывается, что просуммировав бесконечное число решений типа (13.46), удается так выбрать Е = Еп, что удовлетворяются условие (13.44) и (13.45).

Полученная бесконечная сумма

сходится и является решением краевой задачи (13.42)—(13.45).

Для нахождения Еп в (13.47) используем граничное условие (13.44). При у — 0 уравнение (13.47) имеет вид:

Известно, что если нечетная дифференцируемая или хотя бы кусочно-дифференцируемая функция задана в промежутке [О, L] (L > 0), то разложение ее в ряде Фурье имеет вид: где

Положим f(x) = . Тогда выражения (13.48) и (13.49) идентичны, а

выражение (13.48) представляет собой ряд Фурье для постоянной & в промежутке [О, L] (L > 0). Постоянная Е„ равна Ь„ и определяется по формуле (13.50)

при п = 2,4, 6,... cos ля = +1 Еп= 0.

Частное решение (13.47) в окончательном виде:

Согласно этой зависимости температура стенки в любой точке не зависит от теплопроводности, так как был рассмотрен случай, когда в стенке нет источников теплоты. Из полученного решения (13.51) также очевидно, что при $, = 0 Э = 0.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >