Теплопроводность в объемных телах полуограничен- ных размеров с одномерным температурным полем

Рассмотрим теплопроводность в полуограниченном теле (неограниченно простирается в направлении осей ±y9±z и + х и ограниченно плоскостью, перпендикулярной оси х при х = 0).

Для определения температурного поля необходимо решить уравнение (14.1) с начальным условием Т (х, 0) = F(x) = То = const и граничным условием Т (0, т) = Tw = 0. Температуру Тн. принимаем за начало отсчета.

Т

Требуется найти зависимость — = F(x, т).

То

Определим искомую зависимость, используя решение (14.25), полученное для неограниченного тела. Для этого продолжим в отрицательном направлении функцию F(x), причем начальную температуру F(-x) положим равной -F(x). При таком продолжении Fx =0) = 0, т.е. условие на поверхности выполняется, и решение для х > 0 тождественно совпадает с решением поставленной задачи (рис. 14.4).

Представим интеграл (14.25) в виде суммы двух членов:

Учитывая, что F(-x) = -F(x), получим

Распределение температуры в теле полуограниченных размеров Рис. 14.5. Зависимость /(±р) = е к выражению (14.29)

Рис. 14.4. Распределение температуры в теле полуограниченных размеров Рис. 14.5. Зависимость /(±р) = е к выражению (14.29)

Произведя в (14.28) замену переменной из (14.26), получим:

График /(±р) = е"р2 представлен на рис. 14.5. Разность членов в квадратных скобках (14.29) равна площади 1233'2'Г1. Интеграл (14.29) можно представить в форме (рис. 14.5):

Интеграл в этом уравнении равен сумме двух симметричных площадей (233'2'2 и 22'Г12). В соответствии с этим:

+ х

т.е. интеграл является функцией верхнего предела р = __, а уравнение

л/4ол

(14.30) - искомое решение.

Введем символ функции ошибок Гаусса для различных z [2].

Тогда решение (14.30) можно представить в форме:

К определению количества теплоты (14.31)

Рис. 14.6. К определению количества теплоты (14.31)

Количество теплоты SQ, которое переходит от полуогранименного тела (параллелепипед) через площадку dydz (рис. 14.6) за время dx в среду (жидкость, газ), омывающую поверхность YZ:

Продифференцируем уравнение (14.30) по х:

Последнее выражение для х = 0 примет вид:

С учетом (14.31) и (14.32) расход теплоты в единицу времени через поверхность YZ:

Расход теплоты за отрезок времени х через поверхность YZ получим, интегрируя уравнение (14.32):

Подставим значение а = , получим

Ср

где -JxCp - физическая константа, характеризующая способность вещества аккумулировать тепло.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >