Теплопроводность тела конечных размеров (многомерная задача)

Рассмотрим охлаждение параллелепипеда из изотропного (одинаковое свойство по сечению) материала (рис. 14.7) конечных размеров 2/х, 21У, 212 с начальной температурой 7о, одинаковой во всех точках его объема [6]. В момент времени т = О параллелепипед погружается в жидкость с температурой Т/< То, которая остается неизменной в течение всего процесса охлаждения, так же как и коэффициент теплоотдачи а. При таких условиях температурное поле симметрично относительно центра (поместим туда начало координат) параллелепипеда. Математическое описание процесса состоит из уравнения теплопроводности (2.64)

и краевых условий: начальных (х = 0)

граничных (т > 0)

для -1Х <*<+/,, -1у < у < +ly, -lz < z < +/z:

и для x = 0,y = 0nz = 0:

где д$(х, у, Z, т) = Г(х, у, zyi)-Tf ; Э0 =(Г0-Tf).

Требуется найти распределение температуры

Доказано [8], что искомую функцию можно представить как произведение трех функций, каждую из которых можно записать в виде решения (14.18) для стенки неограниченных размеров. Если представить параллелепипед как пересечение трех таких

К задаче об охлаждении параллелепипеда конечных размеров

Рис. 14.7. К задаче об охлаждении параллелепипеда конечных размеров

стенок, то искомая функция будет иметь вид:

Э(х, т) 8(у,т) 8(2, т)

где-, —-—-,--распределения температуры в неограниченных плоскостях

$0 *0 Зо

YZ, XZ, XY соответственно.

Решение рассматриваемой задачи на основании (14.32) и (14.18) будет иметь вид:

где Aу, А^ г - коэффициенты ряда (14.18) соответственно для решений 8(х, т) и Bix =^/,, Э0т) и Biy=jly’ 9(z,t) и Bi2 =

Если ограничиться только первыми членами в ряде (14.18), то формула (14.33) значительно упростится:

Коэффициенты A,x, Aiy, A%z и корни характеристического уравнения Р, х, Р, у, Р, г можно определять по графикам [27] соответственно для

Расход теплоты каждым кубическим метром материала параллелепипеда (рис. 14.7) за время от т = 0 до т = Х определяем по формуле:

где Э(т) - средняя температура параллелепипеда в заданный момент времени т = i|, С - теплоемкость тела; р - плотность тела.

Подставив значение $(jc, y,z,x) из (14.34) в (14.35), получим среднюю температуру $(т):

Коэффициенты В х, Вiy, В, z можно определить по графикам [19].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >