Определение геометрии изделий, полученных способом свободного формования

Очевидно, что геометрические характеристики заготовки в каждый момент ее формоизменения будут зависеть от физико-механических свойств термопласта (при температуре ее формования), геометрии исходного контура (проймы или верхнего горизонтального сечения формующего инструмента) и давления формования. Подобная методика изложена в книге Грина и Адкинса [36] лишь применительно к прогибу под газовым давлением тонких, абсолютно упругих заготовок. Авторы считают, что заготовка — однородный лист, имеющий постоянную толщину, изготовленный из изотропного материала. Кроме того, они ограничиваются рассмотрением лишь такой формы готового изделия, при которой средняя поверхность листа термопласта представляет собой поверхность вращения до и после процесса формования, при этом ось симметрии остается одной и той же.

При соблюдении этих условий картина деформации будет симметрична относительно оси деформируемого тела. Далее авторы предполагают, что картина деформирующих усилий состоит из равномерно распределенных усилий, действующих вдоль каждого из краев деформированной оболочки, и непрерывно распределенных нормальных нагрузок на каждой из ее граничных поверхностей.

Предполагается, что заготовка была подвергнута двумерному растяжению в ее собственной плоскости со степенью растяжения Х₀ (двухосная ориентация). Тогда в выбранной цилиндрической системе координат точка (р, v, д:₃) переходит в точку (Х₀р, v, Ху/Х²0). После этого лист зажимается круглой, рамой радиуса а и формуется равномерным давлением.

Считается также, что любая точка P_Q(р, v, дг₃) на поверхности S₀ переходит при формовании в точку Р(г, v,y₃) деформированной средней поверхности S. Длину дуги А₀Р₀, измеряемую вдоль меридиана от фиксированной точки А₀, обозначаем через х. Это же расстояние, но измеренное вдоль соответствующего меридиана на деформированном листе обозначим ? (рис. 12.1). Из симметрии системы следует, что главные направления деформации в точке Р совпадают с меридианами, параллелями и нормалями к деформируемой поверхности 5. Обозначим главные степени растяжения в этих направлениях соответственно через X,, X_Y Х^, тогда

При формовании осесимметричного изделия принимается, что

Для определения восьми неизвестных г, X_v Х₂, X₃,T_V Т₂, k_v k₂ как функции от р авторы предлагают систему из восьми уравнений:

Рис. 12.1. Поверхность вращения, определяющая форму деформированной заготовки

где А₀ - толщина заготовки; w — функция энергии деформации; /,, /₂, /₃ — инварианты деформации; я¹¹, я¹², я²² — компоненты внутренних усилий; k_v k₂ — нормальные кривизны; Т_х, Т₂ — внутренние физические усилия.

В приведенных уравнениях независимая переменная ? с помощью (11) заменяется на р. Грин и Адкинс предлагают численный метод решения этих уравнений.

Этот метод дает возможность наиболее точно просчитать процесс свободного термоформования, однако имеет тот существенный недостаток, что для расчета реальных процессов в уравнения необходимо ввести вместо упругих вязкоупругие параметры. При этом система уравнений становится неудобной для применения в практических расчетах.

Наиболее приемлема в практических целях изложенная ниже экспериментальная методика определения геометрических характеристик оболочек, полученных свободным формованием. В соответствии с этой методикой при изменении глубины вытяжки h (рис. 12.2) определяются точечные каркасы поверхности образцов изделий. Для математического описания поверхности разбиваются на ряд взаимноперпендикулярных сечений, в каждом из которых дискретно заданный контур заменяется кривыми второго порядка, состыкованными по первой производной, т. е. имеющими в граничных точках общую касательную. Каждый обвод (рис. 12.3) состоит из трех участков кривых второго порядка (KL, LMN, NP).

При графической аппроксимации кривая второго порядка задается наиболее удобным, в точки зрения инженерной практики, способом: с помощью базового треугольника и однозначно определяется координатами вершин треугольника ЛВС (рис. 12.4) и дискриминантом / (ЛВ и ВС — касательные к кривой в точках Ли С,

Рис. 12.2. Схема изделия

Рис. 12.3. Сечение изделия

Рис. 12.4. Задание кривой второго порядка с помощью базового треугольника

ВД — медиана,/ - DE/BD). При/< 0,5 кривая является эллипсом, при/= 0,5 — параболой, при / > 0,5 — гиперболой.

Для аналитического исследования дискретно заданного контура на ЭВМ уравнение кривой второго порядка может быть записано в параметрическом виде

где t. — параметр.

Изменение параметра ? от 0 до оо определяет все множество точек кривой внутри ААВС. В частности, при ? = 0 получаем координаты точки С, при ?. = оо — координаты точки А. При вычислении параметра используется свойство сложного отношения четырех точек. Например, в какой-либо точке Д

В алгоритме проведения кривой через п точек использован метод наименьших квадратов

Подставляем в это выражение значения *(?) и z(t) из параметрического уравнения (19) кривой и дифференцируем по всем неизвестным коэффициентам. Система из восьми линейных уравнений решается с помощью стандартной программы — «процедуры Л У». На печать выводится массив параметров t_f массив неизвестных коэффициентов кривой у и величина Af, равная сумме отклонений по всем точкам.

В связи с тем что по всем характеристикам исследуемые поверхности близки к минимальным, можег быть проанализирована возможность замены полученных кривых дугами окружностей. Для этого используется метод последовательных приближений: выбираются 3 произвольные точки с шагом Дг, через них проводится окружность и определяется ошибка X- Если значение х не выходит за некоторые заданные пределы ±?, то поиск шага прекращается. Если же величина х выходит за допускаемые пределы, то изменяется шаг итерации, который определяется по формуле

где t — порядковый номер; К — коэффициент итерации. В общем случае К = 2±1.

По результатам расчетов строим графики зависимостей радиусов заменяющих окружностей и положений центров в функции от глубины вытяжки h (см. рис. 12.2).

В качестве примера использования изложенной методики рассмотрим случай, когда исходным контуром заготовки является квадрат 200x200 мм, а образцы из ударопрочного полистирола толщиной 3 мм формуются с различной глубиной вытяжки А от 40 до 115 мм.

Плоскость исходного контура совмещается с координатной плоскостью хОу, причем оси х и у располагаются параллельно соответствующим сторонам квадрата. I Управление оси z совпадает с направлением перпендикуляра к плоскости исходного контура, проведенного через центральную точку, принятую за начало координат.

Полученные образцы разбиваются по координатным направлениям на ряд сечений с интервалом 10-20 мм. Зона переходных кривых (см. рис. 12.3) не исследуется. Для уменьшения погрешности аппроксимации в каждой точке проводится несколько экспериментов. Координаты выбранных точек усредняются с помощью методов математической статистики.

Усредненные значения координат выбранных точек используются для анализа полученных в сечениях кривых. На рис. 12.5 дискретно заданные контуры в сечениях у - const графически заменены плавными кривыми, симметричными относительно оси г, построены базовые треугольники и определен дискриминант/в каждом сечении для случая, когда величина прогиба равнялась 51,5 мм. Анализ показывает, что в зависимости от положения сечения дискриминант колеблется от 0,42 до 0,5.

На рис. 12.6 приведены величины дискриминанта /в зависимости от у, т. е. от положения рассматриваемого сечения, при различных величинах прогиба И, изменяющегося от 42 до 102 мм. Приведенные зависимости показывают, что в большин-

Рис. 12.5. Определение дискриминанта f заменяющей второго порядка в каждом сечении образца с глубиной вытяжки h = 50 мм

Рис. 12.6. Зависимость дискриминанта аппроксимирующей второго порядка f от положения сечения у при различных значениях глубины вытяжки образцов h

стве случаев дискриминант/< 0,5. Таким образом, в качестве заменяющих кривых рационально использовать эллиптические кривые или окружности.

На рис. 12.7 даны зависимости г =/(/?) при у = 0 и различных значенияхх, равных соответственно 0,30,40,60,80 мм. Графики дают возможность оценить вертикальные перемещения различных точек поверхности в процессе формования.

Рис. 12.7. Г рафик вертикальных перемещений г различных точек поверхности в процессе формо' вания (при различной глубине вытяжки h)

Для предварительной оценки характера получаемых в сечениях образцов кривых может быть использован и графический метод (рис. 12.8). Он прост и общедоступен. Аналитический метод более сложен, но и более точен. Использование вычислительной техники позволяет получать уравнение аппроксимирующей кривой, что имеет значительное преимущество по сравнению с графическим методом, сокращает время расчетов.

Однако необходимо отмстить, что приведенные методы работают значительно лучше при описании свободного формования осесимметричных изделий. В случае же формования изделий с прямоугольным сечением весьма значительной получается переходная зона (см. рис. 12.3), что существенно снижает точность получаемых результатов.

В связи с этим для таких изделий можно рекомендовать иную методику. Для описания поверхности изделия используется декартова система координате началом на вершине поверхности в точке 0 (рис. 12.9).

При экспериментальных замерах определяются координаты точек, лежащих в плоскостях xOz, хОу и в диагональных плоскостях.

Математическая модель линейного непрерывного каркаса записывается в виде

Рис. 12.8. Графическая аппроксимация точечного обвода кривыми второго порядка

Рис. 12.9. Схема изделия

где функции b(z) и a(z) определяют законы изменения длины и ширины исходного контура в зависимости от г. Причем при 2 = 0 a(z) = b(z) = 0; при z - -h

Функция m(z) — определяет форму поперечных сечений; гак, но мере движения вдоль 2 характер линий, образующих периметр поперечных сечений, будет меняться от линий эллиптического вида при 2, близких к началу координат до вида близкого к прямоугольнику при 2, стремящемся к -А, при 2 = 0 m(z) = 0; при 2 = -Л m(z) = 1.

Функции a(z) и b(z) принимаются в виде:

Постоянные коэффициенты а_х, Ь_х, а_у, Ь_у определяют по найденным при эксперименте координатам точек, взятых соответственно в плоскостях zox и zoy.

Так для определения коэффициентов ах, и bx_t (рис. 12.10) нужно взять две точки A_t{x_t, 2,), Л₂(дг₂,2₂) и, подставив координаты х_г 2, и х₂, z₂ в (22) и (23), получить два уравнения с двумя неизвестными

Рис. 12.10. К определению коэффициентов а_м и Ь_ж

Решив эту систему, можно определить коэффициенты а_ж|, и b_xV Для расчета коэффициентов а_Л, а_х3,Ь_л, Ь_хУ... используются координаты точек B_v В₂,.... -С,, С₂ и т. д. Формулы для расчета коэффициентов а_п и Ь_п будут иметь вид

Средние арифметические значения а_х и Ь_х принимаем в качестве постоянных коэффициентов в уравнении (22). Для более точного определения этих коэффициентов можно воспользоваться методом наименьших квадратов.

По аналогичной схеме определяются постоянные коэффициенты а_у и Ь_у в уравнении (23).

Для каждого конкретного сечения п величина m(z_t) может быть рассчитана по формуле

где

где x_D и y_D координаты точек поверхности в диагональной плоскости.

Для определения функции m(z) запишем аппроксимирующий полином в виде

п — число значений z, (i - 1, 2,3... п).

На рис. 12.11 в качестве примера представлены кривые, ограничивающие 1/4 поперечных горизонтальных сечений образца, полученного свободным формованием в прямоугольной пройме. Материал образца — ударопрочный полистирол. Размеры проймы а - 150 мм, b = 300 мм. Глубина вытяжки — 99,8 мм. В этом частном случае

Рис. 12.11. Кривые периметров горизонтальных сечений образца, получаемого свободным формованием