Основные понятия линии тождественных преобразований. Их значение в курсе математики средней школы и взаимосвязь с другими основными линиями школьного курса

Тождественное преобразование (ТП) в математике понимается как:

  • 1) замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным, но отличным по форме;
  • 2) преобразование (отображение в себя) некоторого множества, оставляющее на месте каждый его элемент.

В школьном курсе алгебры ТП рассматриваются в первом смысле, т.е. как замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным.

В трактовке ТП используются такие понятия, как выражения, тождественно равные выражения. Рассмотрим их. Что же такое выражение?

Выражение математического языка (в широком смысле и в алгебре) — конечная последовательность символов из его алфавита, но не всякая. Семантический подход выделяет выражения как конечные последовательности символов алфавита, имеющие смысл, синтаксический подход — как последовательности символов, построенные по определенным правилам[1]. В математике к выражениям относят:

  • • выражение без переменных: а) не содержащее знака отношения и значения которого обозначают число (терм); б) содержащее один из знаков отношений — высказывание (формула);
  • • выражение с переменными: а) числовая форма, выражающая числовую функции) числовой переменной (терм), например: 7 + х б) высказывательная форма, выражающая логическую функцию числовой переменной (формула), например: из А = {1, 2,3} в {И, Л}, 7 + л: = 10.

В школе к выражениям преимущественно относят термы: во-первых, термы, не содержащие знака отношения, значениями которых являются числа — арифметические выражения; во-вторых, числовые формы, выражающие числовые функции числовых переменных.

Тождественные преобразования используются: 1) для замены одного выражения другим, 2) при доказательстве равенства выражений на основе свойства транзитивности.

Существует несколько подходов к определению тождества, тождественно равных выражений.

1. Тождество рассматривается как равенство, верное при любых значениях переменных (так вводится понятие тождества в учебнике алгебры для 7-го класса под ред. С. А. Теляковского). Этому определению удовлетворяют целые рациональные выражения, но равенства с радикалами (4ay[b=4ab и ему подобные) при таком подходе уже не являются тождествами.

Тождественно равными выражениями называются два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных (в указанном выше учебнике это определение предшествует определению тождества).

2. Тождество рассматривается как равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. (Такое определение понятия тождества предлагается в 8-м классе в учебнике алгебры иод редакцией С. А. Теляковского, когда появляются дробно-рациональные выражения.) Два алгебраических выражения называются тождественными, если они принимают равные численные значения при соответственно равных значениях букв из общей части областей определения.

Данный подход позволяет расширить множество выражений, к которым применимо понятие тождества, но часто такое тождество не имеет практического смысла, например: 4х = 4-х- Кроме того, при данном подходе отношение «быть тождественно равным» не обладает свойством транзитивности, а значит, создаются определенные трудности при решении задач. Например:

(4х)2 = 4х2Ух> 0;

yfx2 = | х |, при любом х.

Оба равенства являются тождествами на указанных множествах, но равенство (4х)2 = х, полученное на основе свойства транзитивности, тождеством не является.

3. Тождество рассматривается на некотором множестве как равенство, верное для любых значений переменных из данного множества. Это множество является подмножеством общей области определения (их пересечения) выражений, стоящих в левой и правой частях равенства.

В данном случае выполняются рефлексивность, симметричность, транзитивность, значит, отношение «быть тождественно равным» является отношением эквивалентности и разбивает все выражения на классы тождественно равных на данном множестве выражений. Но и при этом подходе возникает ряд вопросов. Будут ли тождествами уравнение на множестве решений, уравнение касательной, уравнение окружности? Последнее определение не имеет смысла рассматривать на классе «геометрических» уравнений. Обычно оно рассматривается для алгебраических уравнений. Любое уравнение не обязательно является тождеством, но любое тождество есть уравнение.

Для обозначения тождества был введен знак «=». Его ввел Б. Риман (немецкий математик, ученик К. Гаусса) в 1857 г.

В вышеприведенных трактовках отражены две точки зрения на тождественность алгебраических выражений и тождественное преобразование: формальная и функциональная. С формальной точки зрения два выражения тождественны, если они могут быть получены друг из друга путем формальных преобразований, т.е. последовательной заменой одного выражения другим в результате применения непосредственно законов действий или того, или иного правила тождественного преобразования, которое является следствием основных законов действий. Тождественное преобразование с этой точки зрения есть процесс применения указанных правил к алгебраическому выражению. С функциональной точки зрения два выражения тождественны, если они принимают одни и те же численные значения при произвольных системах значений букв, входящих в эти выражения. Тождественное преобразование — это замена данного выражения тождественным ему в указанном смысле. Но при этом не указывается способ подобной замены. Функциональная точка зрения не позволяет доказать, что два выражения являются тождественными, так как обычно область допустимых значений для букв, входящих в алгебраическое выражение, является бесконечным множеством. Но функциональная точка зрения дает способ обнаружить нстождественность двух выражений, если при каком-то наборе допустимых значений букв эти выражения примут различные численные значения. Отсюда видно, что необходимо применять оба толкования тождественности двух выражений. Полезно выяснять, с какой трактовкой этого понятия мы имеем дело в том или ином случае[2].

Значение темы «Тождественные преобразования» состоит в следующем:

  • • ученики должны понимать, что в алгебре все действия только обозначаются, а затем преобразуются в более простые заменой суммы, произведения тождественно равным выражением;
  • • тождественные преобразования — не самоцель, они используются для удобства нахождения числовых значений выражений, решения уравнений, доказательства неравенств, выявления свойств функций[3].

Это значит, что с тождественными преобразованиями связаны все линии курса алгебры. Поэтому ТГ1 — одна из основных линий курса алгебры и начал анализа школьной математики.

Изучение этой линии выполняет различные функции.

Теоретический аппарат служит средством построения теории других линий, таких как «Уравнения, неравенства и их системы», «Функция» и др. Операционный аппарат является практической базой решения математических и прикладных задач. Школьный курс математики выделяет два основных класса математических выражений: алгебраические (выражения, составленные из конечного числа букв или цифр, соединенные знаками действий, порядок действий может определяться и скобками; арифметические выражения — частный вид алгебраических выражений, не включающий буквы) и трансцендентные (аналитические выражения, не являющиеся алгебраическими).

В каждом из этих классов можно выполнить разбиение (рис. 12.1).

Рис. 12.1

Основная (базовая) теория тождественных преобразований изложена на множестве алгебраических выражений. Далее при введении трансцендентных функций расширяется область применения тождественных преобразований и, что естественно, свойства введенных функций выделяют особенности преобразований неалгебраических выражений.

Какие же тождественные преобразования выполняют над алгебраическими выражениями?

Основные виды тождественных преобразований

Виды тождественных преобразований находят свое отражение в способах преобразования выражений. Рассмотрим их.

Тождественные преобразования целых алгебраических выражений'.

  • 1) приведение подобных членов:
    • • переместительное свойство;
    • • распределительное свойство;
  • 2) сложение, вычитание, умножение, деление многочленов — свойства степеней с целыми показателями;
  • 3) разложение многочленов на множители с помощью:
    • • вынесения общего множителя за скобки;
    • • выделения полного квадрата;
    • • представления слагаемых в виде суммы или разности других слагаемых;
    • • группировки;
    • • формул сокращенного умножения;
    • • разложения квадратного трехчлена на множители;
    • • найденных корней (через подбор, теорему Безу, схему Горнера);
  • 4) прибавление выражения, тождественно равного нулю.

Тождественные преобразования рациональных алгебраических

выражений'.

  • 1) приведение алгебраических дробей к общему знаменателю;
  • 2) сложение, вычитание, умножение и деление дробей — почленное деление каждого слагаемого делимого на делитель с целью выделения целой части;
  • 3) умножение на выражение, тождественно равное единице;
  • 4) тождественные преобразования целых алгебраических выражений.

Тождественные преобразования иррациональных алгебраических выражений'.

  • 1) избавление от иррациональности в знаменателе;
  • 2) тождественные преобразования рациональных алгебраических выражений.

  • [1] Математический энциклопедический словарь / под ред. Ю. И. Прохорова. М.:Сов. энциклопедия, 1988.
  • [2] Синельников М. II. О привитии учащимся интереса к математике. Смоленск,1954.
  • [3] Математический энциклопедический словарь.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >