Реализация межпредметных связей и связей с жизнью при изучении функции

В современных условиях в системе образования одной из важнейших задач является создание условий для мотивации, формирование действия «смыслообразование». Согласно исследованиям психологов наиболее значимым механизмом выполнения этой задачи является связь с жизнью, окружающим ученика миром1.

Этого можно достичь, рассматривая функцию как модель реальных процессов, а сам термин — как межпредметный. Понимание функции как математической модели реальных процессов определяет общекультурный аспект изучения математики, способствует достижению метапредметных образовательных результатов. Учащиеся должны уметь видеть функциональную зависимость не только в алгебраических формулах, но и в других процессах, изучаемых на разных школьных предметах и в жизни.

Рассмотрим примеры функций и соответствий, не являющихся функциями, представляющих собой математические модели реальных процессов, которые можно рассматривать на содержании различных школьных предметов[1] [2].

Примеры подобраны так, что на них можно показать разные виды функций и их свойства (дискретные, непрерывные, кусочные, возрастающие, убывающие...). К этим примерам целесообразно обращаться, рассматривая определенные функции, изучая конкретные свойства функций.

Физика. Зависимость количества теплоты Q, выделенной при сгорании каменного угля, от массы угля т (Q = qm, где q — удельная теплота сгорания каменного угля, постоянная величина; х — масса т, (кг), у — количество теплоты Q (Дж) ) является функцией. График схематично представлен на рисунке.

Химия. Зависимость порядкового номера (группы) в периодической системе химических элементов Д. И. Менделеева от количества электронов на внешнем уровне (номер группы) - номер группы, у — порядковый номер элемента). (На рисунке изображена только часть графика зависимости.) Функцией не является.

История. Зависимость числа воинов, сражающихся на стороне Чингисхана, от времени и ее график являются функцией.

Биология.

  • 1. Соответствие «человек (Ох) — группа крови (0у)» является функцией.
  • 2. Соответствие «группа крови (Ох) — человек (0у)» не является функцией.

Сравнивая виды зависимостей (функциональных и нефункциональных) на примерах из других областей знаний, можно еще раз подчеркнуть их графическое различие.

3. Соответствие «возраст человека — потребность в сне в среднем (грудной ребенок спит 12 ч, восьмилетний — до 11 ч, взрослый человек — 8 ч)» является функцией.

Па этом понятном ученикам примере желательно поговорить об абстрагировании в математике. Конечно, график дает приблизительное представление о зависимости, в реальной жизни колебания в количестве часов на сон у разных людей могут быть разные. Мы абстрагируемся от потребностей в сне отдельных конкретных людей. Прямолинейные участки отражают только тенденцию — чем ближе модель к реальной жизни, тем больше будет кривых линий на графике зависимости. Можно предложить ученикам построить график такой зависимости из их жизни, правда, на каникулах, когда они могут спасть, сколько хотят.

География. Зависимость температуры воздуха от времени, где х — температура воздуха (°С); у — календарное число, можно предложить построить учащимся самим. Лучше рассмотреть колебания температуры осенью, когда температура принимает и положительные, и отрицательные значения. Используя примеры такого типа, можно уделить внимание рассмотрению промежутков знакопосто- янства.

Представление о функциональных зависимостях у школьников было бы неполным без рассмотрения на уроках ситуаций, встречающихся в повседневной жизни школьников. Например:

  • • соответствие между днями недели и отметкой по алгебре, где х — день недели, у — отметка;
  • • ученик прыгает с трехметровой вышки (а может, с бортика бассейна) в воду и всплывает на поверхность воды, гдех (с) — время, у (м) — расстояние между спортсменом и поверхностью воды.

Предложить ученикам построить графики этих зависимостей относительно себя. Используя эти ситуации, целесообразно рассмотреть свойства функций.

На рисунке дан один из возможных графиков второй зависимости.

В современных образовательных стандартах стоит задача освоения межпредметных понятий. Функция относится к таким понятиям.

В словарях и учебниках встречается более 10 различных трактовок понятия «функция». Проведенный анализ этих трактовок позволил выделить два основных смысла этого понятия: 1) о функции мы говорим как о действии, выполняемом кем-либо или чем-либо, назначении человека или предмета; 2) под функцией понимается соответствие =/(х)) между элементами двух множеств (X и У), при котором каждому элементу множества X ставится в соответствие единственный элемент множества Y. При этом природа элементов этих множеств может быть любой[3].

Как показал проведенный эксперимент, 55% учащихся 7—8-х классов при опросе на уроках математики и до 90% при опросе на других уроках под функцией понимают действие. Причем из остальных учащихся на уроках математики 40% в качестве определения функции предлагали конкретные функции, заданные аналитически, или их графики. В данной ситуации можно поступить по-разному.

  • 1. Не связывать «математический» объективный смысл понятия «функция» с объективными смыслами в других науках и субъактивным смыслом ребенка, формировать понятие «функция» в традиционном ключе.
  • 2. Развести разные термины соподчиненных понятий, не выходя на межпредметное понятие и не показывая детям, что смыслы этих соподчиненных понятий имеют общее.
  • 3. Установить связь между различными смыслами понятий1.

Оптимальным для достижения метапредметных результатов

является третий путь. Как его реализовать?

В жизни, говоря о функции как о действии, мы выделяем только одно множество. А понимание функции во втором смысле предполагает выделение двух множеств. Но как показывает история развития математики, на определенном историческом этапе под функцией понималась только зависимая переменная, т.е. объем понятия был представлен только одним множеством. После введения термина «функция» в математике в 1673 г. Г. В. фон Лейбницем и до второй половины XIX в. в определении функции этим термином обозначалось только одно множество (переменную величину у называли функцией переменной величины х). И в школьном курсе математики на определенном этапе «работает» традиционная трактовка понятия функции.

Но никакое действие не существует без объекта, который выполняет это действие. Поэтому, рассматривая функцию вне математики, можно выделить и второе множество, заданное неявно, - множество объектов, которые обладают этими функциями (или совершают эти действия). Недаром вне математики говорят о функциях чего-то или кого-то, например: функции родителей, функции органов пищеварения. Да и в математике функцию рассматривают как заданную на каком-либо множестве.

Таким образом, понятия функции в математике и вне ее имеют общие свойства, а объемы их не пересекаются, значит, они являются соподчиненными межредметному понятию «функция». Конечно, изучение межпредметного понятия функции не является целью изучения математики, но для формирования целостной системы понятий достаточно сформировать обобщенное представление или нредпонятие о соответствующем межпредметном понятии. Но до формирования представления необходимо выявить опыт ученика, связанный с этим понятием (см. главу о субъектном опыте). Этот этап необходим для выявления субъективного смысла (житейского представления) межпредметного понятия у каждого ученика и установления на этой основе связи с вводимым понятием[4] [5].

Впервые термин «функция» ветречаетея в учебнике природоведения 5-го класса при изучении функций растений и функций животных. Функция понимается как действие, выполняемое растениями и животными. В таком же смысле можно понимать функции государства на уроках обществознания, функции внутренних органов на уроках биологии. И в бытовом значении термин «функция» звучит в таком контексте. Как показало проведенное исследование, именно в этом смысле понимают многие учащиеся понятие функции даже после знакомства с ее определением в алгебре. При выполнении задания назвать словосочетания со словом «функция» большинство учащихся называли функции мобильного телефона или других приборов. Поэтому введение математического понятия целесообразно начать с функций бытовых приборов или мобильного телефона, что будет способствовать не только восприятию, но и прочному усвоению понятия «функция» как связанного с субъектным опытом ученика, с окружающим его миром.

На этом этапе происходит знакомство учащихся с разными значениями (объемом) межпредметного понятия и разными его смыслами через определенную систему заданий.

Учащимся можно предложить задания такого типа: установить соответствие между множествами, соединив стрелкой соответствующие элементы, и дать названия множествам (примеры 1 или 2).

Пример 1

Motorola, 1973 г.

Bluetooth

Benefon Beta. 1993 г.

Голосовая связь

Siemens, 2000 г.

Отправка SMS

Nokia 2110, 1994 г.

Встроенные часы

Sony Ericsson, 2003 г.

Мобильный И нтериет

Пример 2

Легкие

Обеспечение организма глюкозой

Печень

Восприятие и обработка информации

Мозг

Обеспечение дыхания

Учащиеся иод функцией понимают элементы множества, записанного во втором столбике {множество действий, которые впервые появились с выходом определенной модели телефона, множество функций внутренних органов человека). Но как мы выяснили, никакое действие не существует без объекта, который выполняет это действие. Поэтому можно выделить второе множество, которое неявно задано, — множество мобильных телефонов (множество внутренних органов человека) и правило соответствия между этими множествами.

Цель заданий — сформировать обобщенный образ понятия функции на основе уже сформированных у учащихся представлений о функции, который может быть представлен схемой (рис. 13.3), и выделить свойства, существенные для межпредметного понятия: наличие двух множеств и связи между ними. Таким образом, ученики, встречаясь с функциями в разных учебных предметах и вне школы, должны видеть не только множество действий, но и множество объектов, их производящих, и связь между объектами этих множеств. Это будет способствовать как развитию функционального мышления учащихся, так и усвоению понятия функции в математике.

Рис. 133

Связь между множествами может быть и явной зависимостью. Именно такие функциональные зависимости встречаются в различных учебных предметах, которые целесообразно рассмотреть с учащимся перед выделением специфики функции в школьной математике.

Например, на уроках географии учащиеся рассматривают зависимость климата территории от широтного положения, рельефа, влияния океана и преобладающих ветров. Учащимся можно предложить следующее задание.

Известно, что климат территории зависит от природных условий и характеристик территории. С помощью стрелок покажите зависимость основных характеристик климата территории от природных условий и характеристик территории:

Температура

Рельеф

Количество осадков

Широтное положение

Влияние океана

Влажность

Преобладающие ветры

Как вы думаете, элементы какого множества называются зависимыми, а какого — независимыми?[6]

На основе сформированного представления о межпредметном понятии функции необходимо показать специфику функции в математике, в частности числовой функции числового аргумента, которую изучают в школьном курсе алгебры, точнее — анализа. Эта специфика выражается в том, что элементами двух множеств X и Y являются числа и каждому элементу множества X соответствует единственный элемент множества Y. Организовать это можно на основе заданий, предложенных выше (в параграфе 13.7).

  • [1] Соуза Д. Как мозг осваивает математику.
  • [2] Копелевым Ф. И. Возможные способы учета когнитивных стилей в процессеобучения геометрии // Проблемы теории и практики обучения математике : сб.науч. работ, представленных на Всероссийскую научную конференцию «54-е Гер-ценовские чтения» / пол ред. В. В. Орлова. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена,2001. С. 173-174.
  • [3] Математический энциклопедический словарь.
  • [4] Иванова О. А. Подходова II. С. Проблемы формирования межпредметных понятий при изучении математики.
  • [5] Подходова И.С., Кожокарь О. Л., Фефилова Е. Ф. Реализация ФГОС ОО.
  • [6] Подходова Н. С., Кожокаръ О. А., Фсфилова Е. Ф. Реализация ФГОС ОО: новые решения в обучении математике.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >