Математическая модель структуры потока жидкости

Для исследования структуры потока по методу установившегося состояния индикатор (раствор поваренной соли) непрерывно подают на выходе потока (у сливной планки) с помощью сосуда Бойля - Мариотта. Спустя некоторое время по достижении установившегося режима в трех сечениях j тарелки измеряют концентрацию индикатора. Обработка данных эксперимента осуществляется в функции с

In—— = /(1-z). При этом определяется безразмерный объ-

^вых

ем зон полного перемешивания (?) и Диффузии (), а также величины Ре, в каждом сечении по формуле:

где с„ с>ьк - концентрации индикатора в /'-й точке тарелки и на выходе потока соответственно; z - безразмерная координата длины пути жидкости.

Прямые участки на входе и выходе потока свидетельствуют о наличии зон полного перемешивания (Ре—>0), наклонные линии характеризуют диффузионные зоны (тангенс угла наклона - величину Пекле).

Таким образом, по методу установившегося состояния формируют структуру математической модели потока жидкости (рис. 3.1) и определяют ее параметры - Ре,.

Визуальные наблюдения показали, что в боковых пристеночных частях площади барботажа часть жидкости R рециркулирует от выхода потока к его входу. Чтобы количественно определить долю рециркуляции, в общую структуру комбинированной модели добавляется рециркулирующий поток,

Схема комбинированной математической модели потока жидкости на тарелке

Рис. 3.1. Схема комбинированной математической модели потока жидкости на тарелке (Я.П.П. - ячейка полного леремешивания) затем записывается система уравнений в частных производных по всем зонам, входящим в общую структуру, и эта система решается относительно среднего времени пребывания и безразмерной дисперсии.

В соответствии со структурной схемой рис. 3.1 уравнения математической модели в динамике, исходя из материального баланса, могут быть записаны в следующем виде:

где R - доля рециркулирующего потока; а, (1-д) - доля аэрированной жидкости, прошедшей через тарелку, и байпас жидкости соответственно; ак, а( - к) - доля аэрированной жидкости, прошедшей через центральную часть тарелки к и боковые пристеночные зоны (1-Л:) соответственно; с, - концентрация индикатора в соответствующих зонах, г/л; V, - объемы соответствующих зон, м3; Е„ Ft - коэффициенты продольного перемешивания, м2/с, площадь поперечного сечения /-Й диффузионной зоны соответственно, м2; L - расход жидкости, м3/с; /, - координата длины пути жидкости для l-Й диффузионной зоны, м; qd(j) - расход индикатора при

импульсной его подаче на входе потока; с? - концентрация индикатора в конце l-Й диффузионной зоны; индексы при cf. 1,2,5,6 - зоны полного перемешивания, д1, д2 - диффузионные зоны; вх, вых, 7 - точки смешения.

Анализ условий на границе диффузионных зон и зон полного перемешивания показал, что только граничные условия Данквертса удовлетворяют физическому смыслу процесса перемешивания на тарелке:

где Jt = Jcjtdt - начальный момент первого порядка (см. Приложение 2)

о

ОО 00

/, = - jtdc, = jc,dt - начальный момент нулевого порядка, о о

и граничные условия соответственно: при 1 = /2 = О

Умножаем исходную систему уравнений на время t и после интегрирования по Г от 0 до оо получаем новую систему уравнений: при l = L и h = Li

Можно доказать, что Из уравнений (3.3) и (3.5) получаем:

Обозначим akL = i и а(1 - к)( + R)L =j, тогда решения уравнений (3.4) и (3.6) с граничными условиями (3.11) будут иметь следующий вид:

Полагая, что l = L в выражении для Ja и h = L2 для J&, получим:

Из уравнений (3.7) и (3.8) получаем:

а из уравнения (3.9) с учетом полученных выражений имеем:

Из уравнения (3.10) получим зависимость между средним временем пребывания индикатора (гимп), определяемым по функциям отклика системы на типовые возмущения по составу потока, и действительным временем пребывания потоУмножая исходную систему уравнений и граничные условия на i2 после интегрирования по t от 0 до оо получаем новую систему уравнений:

и граничные условия

оо

где Jс = jc/2d/ - начальный момент второго порядка.

о

Решая уравнения (3.14) и (3.16) методом вариации произвольных постоянных с использованием граничных условий (3.21), получим:

Из уравнения (3.15) с учетом выражения для J5 имеем:

Из уравнения (3.18) получаем:

а из уравнения (3.17) следует:

С учетом полученных выражений имеем:

Поскольку безразмерная дисперсия определяется как

то

где = 4s + + ?д2; = ?i + & + дь $ - доли объемов зон с различным

механизмом перемешивания.

Данное уравнение выражает зависимость дисперсии функции отклика системы на импульсное возмущение по составу потока от параметров комбинированной модели.

Определив величины Pei, Рег и § по методу установившегося состояния, с помощью известного метода импульсного возмущения по составу потока можно определить среднее время пребывания ТИМП и безразмерную дисперсию а] (уравнения 3.12 и 3.23) по С - кривой на выходе потока.

Используя зависимость сгг0 = f (? е ,R), можно количественно определить долю рециркулирующего потока R.

Метод отсечки, заключающийся в одновременной отсечке подачи воздуха и воды на тарелку, позволяет определить объем жидкости на тарелке при соответствующих режимах по воздуху и воде и, соответственно, действительное время

V

пребывания на тарелке гд(V, L - объем и расход жидкости соответственно). Сравнение гд с временем пребывания, определенным по С-кривой, дает возможность определить долю аэрированной жидкости (а) и соответственно байпаси- рующего потока - (1-а) (формула (3.12)).

При исследовании структуры потока с использованием метода моментов функции распределения времени пребывания по длине пути жидкости индикатор (раствор поваренной соли) подают в виде импульса на входе потока, а в различных точках (трех сечений тарелки) снимают С-кривые,

которые обрабатываются в виде зависимости _Г| =f(zj).

^вых j

На рис. 3.2 приведена обработка экспериментальных исследований по данному методу при одном из режимов работы аппарата диаметром 3000 мм на системе воздух - вода.

Изменение среднего времени пребывания индикатора по длине тарелки диаметром 3000 мм

Рис. 3.2. Изменение среднего времени пребывания индикатора по длине тарелки диаметром 3000 мм: + - центральная зона; о, х - боковые зоны

В отличие от вышеприведенного трудоемкого комплекса методик (установившегося состояния, импульсного возмущения и отсечки) при исследовании по новому методу (моментов функции распределения) отпадает необходимость в решении системы уравнений относительно безразмерной дисперсии. На примере комбинированной модели по жидкости рассмотрим методику определения параметров математической модели. Структуру математической модели можно определить из характера зависимости, приведенной на рис. 3.2. Прямые участки свидетельствуют о наличии зон полного перемешивания, а экспоненциальные участки - диффузионной зоны, что позволяет определить размеры этих зон и величины Ре,.

В соответствии со структурной схемой рис. 3.3 (отличающейся от схемы рис. 3.1 тем, что механизм рецикла в этой схеме соответствует физическому смыслу наблюдаемого явления) можно записать полную математическую модель структуры потока жидкости в динамике на тарелке в виде материальных балансов потоков в соответствующих зонах или точках смешения:

где с,, с0, с<ых - концентрация индикатора в /-ой зоне, на входе и выходе потока соответственно; ?, = akL, L2 = а( - к)( + R)L, L3 = a(l-k)RL;

z, ~— безразмерная координата для /-й диффузионной зоны; У, - объем /-й зоны, м3; L - расход потока жидкости, м3/с.

На границе диффузионных зон и зон полного перемешивания удовлетворяются граничные условия Данквертса:

Структурная схема распределения пара и жидкости на тарелке

Рис. 3.3. Структурная схема распределения пара и жидкости на тарелке: ху, - концентрации жидкости и пара

Умножая систему уравнений (3.24)-(3.25) и граничные условия (3.26) на t с последующим интегрированием по / от О до оо, получим систему уравнений для определения

СО

Уд, = jxjdt, которая полностью идентична системе (3.24)- о

(3.25) если в последней произвести замену:

СО со

где /д, = fcadt, /, = jc,d<, о о

так как

В результате решения уравнений (3.24) методом вариации произвольных постоянных с использованием граничных условий (3.26) получим:

Полагая в уравнениях (3.28) zi=l, Zi=, гз=1, найдем:

Соответственно получаем:

Из последнего уравнения с учетом (3.29) и (3.30) имеем:

или

Таким образом, при наличии функции _ — - = /(z,) и на

^ВЫХ J

основании полученных выше соотношений можно определить структуру математической модели и ее параметры - размеры зон ?д„ долю байпасирующего потока (3.27) - /вых = а! (/ - нулевой начальный момент в любой точке тарелки). Значение Ре/ можно определить одним из методов оптимизации с минимумом критерия

где f'.rj - расчетная и экспериментальная величины времени пребывания индикатора в й точке у-го сечения; п - число экспериментальных точек.

fy определяется из зависимости первого начального момента от длины пути жидкости для диффузионной зоны - уравнение (3.28):

Так как

то

Доля рециркулирующего потока определяется из уравнения (3.28)

Из уравнения (3.30) для зон полного перемешивания (при R=0) определим:

или расчетное время пребывания для модели полного перемешивания

Для модели идеального вытеснения (Ре -»<х>) из уравнения (3.31) получим

Преимущество рассмотренной методики перед методикой одновременного использования установившегося состояния, импульсного возмущения по составу потока и отсечки заключается в возможности автоматизации исследования, резком сокращении времени эксперимента и повышении его точности.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >