Система отсчета, тело отсчета. Сведения о векторах

Всякое движение относительно, поэтому для описания движения необходимо условиться относительно какого другого тела будет отсчитываться перемещение данного тела. Выбранное для этой цели тело называют телом отсчета.

Система отсчета - совокупность системы координат и часов, связанных с телом, относительно которого изучается движение.

Движения тела, как и материи, вообще не может быть вне времени и пространства. Материя, пространство и время неразрывно связаны между собой (нет пространства без материи и времени, и наоборот).

Для описания движения практически приходится связывать с телом отсчета систему координат (декартова (рис. 2.1), сферическая (рис. 2.2), цилиндрическая и др.).

Сферическая система координат

Рис. 2.2. Сферическая система координат: положение точки характеризуется длиной г, углами в и <р

Рис. 2.I. Декартова система координат: положение точки Л характеризуется координатами х, у, z или радиус-вектором г

Пространство трехмерно, поэтому «естественной» системой координат является декартова, или прямоугольная, система координат, которой мы в основном и будем пользоваться.

В декартовой системе координат положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами - х, у, z или радиус-вектором г, проведенным из начала координат в данную точку.

Преобразования от сферических к декартовым координатам: Сведения о векторах

Векторными называются величины, характеризующиеся не только численным значением (модулем), но и направлением (в тексте векторы обозначают буквами прямого шрифта со стрелкой сверху, например г).

На чертежах векторы, направленные к нам, обозначают точкой (•), а от нас - крестиком (х).

Радиус-вектором г некоторой точки А называется вектор, проведенный из выбранного начала координат в данную точку (рис. 2.1). Его проекции на координатные оси равны декартовым координатам данной

точки: л:,у, z. Умножив их на единичные векторы (орты) i, j, k, вектор г можно представить в виде:

ill

Слагаемые xi,yyzk называются компонентами, или составляю- 1

щими вектора г ; числа ху у> z - его координатами, а само соотношение (2.2.1) - формулой разложения вектора г но единичным ортам.

Модуль радиус-вектора, используя теорему Пифагора13, можно выразить через координаты вектора г :

Сложение векторов осуществляется по следующей схеме: начало каждого последующего вектора совмещают с концом предыдущего, результирующий вектор проводится из начала первого в конец последнего. Эта операция называется правилом многоугольника.

Умножение векторов производится на скалярную или векторную величину. Перемножение векторов может быть скалярным или векторным.

Скалярное произведение двух векторов d и b дает скалярную величину с и вычисляется по формуле

где |d| и |b| - модули перемножаемых векторов; а - угол между ними.

1

При этом произведение ^/cosa называется проекцией вектора d на вектор Ь. Очевидно, что скалярное произведение векторов не зависит от

того, в каком порядке они расположены: d • b = b • d .

11 / г г г

В частном случае, когда d = b, формула (2.2.3) дает I b,b) = Ь2 = Ь2.

1 I

Если векторы d и b ортогональны друг другу, то их скалярное произведение, согласно (2.2.3), равно нулю:

Векторным произведением векторов d и bназывается вектор С, определяемый формулой

1

где п-единичный вектор, направленный перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы-сомножители. Направление вектора п, а также результирующего вектора с можно найти по правилу правого винта, или по «правилу буравчика».

Модуль векторного произведения равен произведению модулей d и Ь, умноженному на синус угла между ними:

Вектор ?dbj равен по модулю вектору ||bdJ и направлен в противоположную сторону:

Векторное произведение коллинсарных векторов равно нулю:

1 _

Векторное произведение d и b можно записать с помощью определителя:

ill

где i,j,k - единичные векторы, направленные по соответствующим осям.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >