Кинематика твердого тела

Виды движения

Различают пять видов движения:

  • поступательное;
  • вращательное - вокруг неподвижной оси;
  • плоское;
  • вокруг неподвижной точки;
  • свободное.

Поступательное движение и вращательное движение вокруг оси - основные виды движения твердого тела. Остальные виды движения твердого тела можно свести к одному из этих основных видов или к их совокупности.

Поступательное - это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе и все точки твердого тела совершают равные перемещения за одинаковое время (рис. 2.12).

Поступательное движение Рис. 2.13. Вращательное движение тела тела

Рис. 2.12. Поступательное движение Рис. 2.13. Вращательное движение тела тела

При вращательном движении вокруг оси все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью ОО' вращения (рис. 2.13). Из определения вращательного движения ясно, что понятие вращательного движения для материальной точки неприемлемо.

Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Движение твердого тела, при котором две его точки О и О' остаются неподвижными, называется вращательным движением вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую ОО' называют осью вращения.

Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ОО'(рис. 2.14).

Вращательное движение твердого тепа вокруг оси ОО'

Рис. 2.14. Вращательное движение твердого тепа вокруг оси ОО'

Проследим за некоторой точкой М этого твердого тела. За время dt точка М совершает элементарное перемещение dr.

При том же самом угле поворота dtp другая точка, отстоящая от оси на большее или меньшее расстояние, совершает другое перемещение. Следовательно, ни само перемещение некоторой точки твердого

dr d2r

тела, ни первая производная —, ни вторая производная —=- не могут

dt dr

служить характеристикой движения всего твердого тела.

За это же время dt радиус-вектор R, проведенный из точки О’ в точку М, повернется на угол dtp. На такой же угол повернется радиус- вектор любой другой точки (т. к. тело абсолютно твердое, в противном случае расстояние между точками должно измениться).

Угол поворота dtp характеризует перемещение всего тепа за время d/.

Удобно ввести dtp - вектор элементарного поворота тела, численно равный dtp и направленный вдоль оси вращения ОО' так, чтобы, глядя вдоль вектора, мы видели вращение по часовой стрелке (направление вектора dtp и направление вращения связаны «правилом буравчика»).

Элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов:

Угловой скоростью называется вектор со, численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения в направлении d

Если со - const, то имеет место равномерное вращение тела вокруг неподвижной оси.

Пусть и - линейная скорость точки М. За промежуток времени dt точка М проходит путь dr = x>dt. В то же время, dr = /?d(p (центральный угол). Тогда можно получить связь линейной скорости и угловой:

Вектор и ортогонален к векторам со и R и направлен в ту же сто-

г *

рону, что и векторное произведение [со, R ].

Наряду с угловой скоростью вращения используют понятия периода и частоты вращения.

Период Т - промежуток времени, в течение которого тело совершает полный оборот (т. е. поворот на угол (р = 2п).

Частота v - число оборотов тела за 1 секунду.

При вращении с угловой скоростью со имеем:

Введем вектор углового ускорения ? для характеристики неравномерного вращения тела:

Вектор ?+ направлен в ту же сторону, что и со при ускоренном вращении (dco/d/>0), а б_ направлен в противоположную сторону при замедленном вращении (dco/d/ < О), рис. 2.15.

Вращательное движение вокруг неподвижной оси ОО'

Рис. 2.15. Вращательное движение вокруг неподвижной оси ОО'

Как и любая точка твердого тела, точка М имеет нормальную и тангенциальную составляющие ускорения. Выразим нормальное и тангенциальное ускорение точки М через угловую скорость и угловое ускорение:

Обратите внимание. Все кинематические параметры, характеризующие вращательное движение (угловое ускорение, угловая скорость и угол поворота), направлены вдоль оси вращения.

Формулы простейших случаев вращения тела вокруг неподвижной оси:

равномерное вращение: г = 0; СО = const; <р = ср0 ± со/;

г/2

равнопеременное вращение: ? = const; со = со0 ± е/; ср = со0/ ± .

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >