Примеры решения задач

Задача 3.1. Из однородной круглой пластинки вырезан круг, центр которого О' находится в середине вертикального радиуса большего круга R = 0,5 м (рис). Определите положение центра масс фигуры, если радиус отверстия г = 0,2 м. Каким типом равновесия обладает тело в данном положении? I

Дано:

R = 0,5 м г = 0,2 м ОР'= R/2

*с-?

Решение. Представим, что отверстие заполнено тем же материалом, из которого сделан круг. Тогда центр масс сплошного большого круга находится в точке О и в ней приложена сила тяжести Mg. Чтобы

скомпенсировать эффект заполнения отверстия, считаем, что в центре маленького круга должна быть приложена сила g, направленная вверх.

Из соображений симметрии центр масс фигуры находится на вертикальной оси, соединяющей центры кругов ОО*. Поместим начало вертикальной оси х в центр большого круга О. Учитывая выражение для

5>i*/

центра масс хс = —-, получаем:

2>/

где р - плотность пластинки; h - её толщина.

Центр масс находится ниже центра большого круга на расстоянии хс. Равновесие фигуры - устойчивое, поскольку центр тяжести занимает наинизшее из возможных положений. При отклонении круг будет стремиться вернуться в прежнее положение.

Ответ: хс = -0,048 м .

Задача 3.2. Стреляя из автомата АК-47, солдат испытывает отдачу: на него действует средняя сила Fcp, эквивалентная весу массы М = 6,4 кг. Учитывая, что масса пули т = 7 г и вылетает она с начальной скоростью и = 850 м/с,определить скорострельность п автомата.

Решение. За время At выпускается AM = nAt пуль. Они уносят импульс Ар = nwAN = mvnAt. По закону сохранения такой же импульс

передается автомату. Поэтому по второму закону Ньютона средняя сила отдачи равна:

Естественно, при стрельбе короткими очередями и, тем более, одиночными выстрелами число выстрелов в минуту будет меньшим.

Задача* 3.3. Курс бейдевинд. Объясните, почему яхта может идти против ветра курсом бейдевинд (от гол. bijde wint), когда угол между линией ветра и направлением корма-нос яхты меньше 90°.

По условию Fcp = Mg. Отсюда находим скорострельность оружия:

Решение. На рис. угол между направлением скорости ветра и осью яхты равен л-а. Если плоскость паруса расположена перпендикулярно направлению скорости ветра, то величина силы давления ветра R, действующей на парус, максимальна. Если же плоскость паруса образует с направлением скорости ветра угол р, то сила давления на парус N = tfsinp. Эта сила заставляет яхту смещаться. Однако реальной движущей силой является проекция силы N на направление оси яхты, она равна

поскольку большая поверхность киля не позволяет яхте смещаться в направлении, перпендикулярном оси. Из этого следует, что

Эта функция достигает максимального значения при р = а/2:

В этом случае парус расположен так, что делит точно пополам угол между направлением скорости ветра и осью.

Задача* ЗА. Две Кембриджские задачи. Разберем задачу о движении цепи, решение которой известно с середины XIX в.

Однородная цепь свешивается с края стола. Остальная часть цепи сложена в кучу на крае стола. В начальный момент времени скорость цепи равна нулю. Найти ускорение цепи.

Решение. Направим ось z вертикально вниз, начало координат - на уровне поверхности стола. Пусть z - координата нижнего конца цепи А, х>2=) - проекция скорости точки А. Масса движущейся части цепи

т = pz, р - линейная плотность цепи. Исходя из уравнения Мещерского d/wu г J,

-= mg + F получим уравнение

Рассмотрим частный случай, соответствующий начальным условиям z(0) = 0, ц(0) = 0: первоначальная длина свисающей части цепи ниd I

чтожно мала.

Для получения решения уравнения (1) умножим обе части на zu. Тогда уравнение можно представить в виде производной функции F(z,o):

Согласно начальным условиям С = 0. Из (2) находим гг =2gz/3. Дифференцируя по времени, получим ускорение движущейся части цепи

следовательно, F = С:

Ответ: а = g/3.

Задача* 3.5. Приведем другой интересный результат. Однородная цепь АВ массой М висит вертикально, касаясь концом В поверхности пола. Цепь отпускают. Найдите зависимость величины силы давления цепи на пол. Покажите, что в момент падения конца А на пол величина силы давления в три раза больше веса цепи.

Решение. Масса цепи длиной / равна М = р/, где р-линейная плот

ность цепи. Направим ось z вертикально вверх, начало координат - на уровне поверхности пола. В момент времени t координата точки А равна z, проекцию скорости точки А на ось z обозначим г).

Масса движущейся части цепи m(t) = pz (рис.). На нее действуют сила тяжести и сила реакции N со стороны части цепи массой М - m(t лежащей на полу. На эту часть цепи действуют три силы - сила тяжести, сила давления N со стороны движущейся нити и сила реакции пола R . Из уравнений (1 и 2) предыдущей задачи можно записать:

Отметим, что присоединение элемента рAz к неподвижной части цепи имеет характер удара - его скорость мгновенно изменяется от значения — и до нуля. Приращение импульса pAzu сообщает сила реакции

1 2

N : pAzv = N-At. Переходя к пределу А/ —> 0, получим N. = рГ. Следовательно, из (1), (2) получим

Из (3) следует, что цепь свободно падает. Поскольку начальные условия z(0) = /0, и(о) = 0, то о(/) = -gt, z(/) = / -gt2/2.

Из (4), (5) получим величину силы давления цепи на пол - вес цепи:

Конец цепи А достигает пола в момент времени Т = (2l/g)h2. В этот момент времени вес цепи /?. (г) = ЗЛ/g.

Задача 3.6. Определите положение центра масс тссистемы из трех материальных точек массами m 1 = 1 кг, mi = 2 кг и шз = 3 кг, находящихся в вершинах правильного треугольника со стороной а = 1 м.

Дано: Решение. Поместим начало координат в точку, где

ш = 1 кг находится масса m 1, ось х направим вдоль прямой, со-

tn2 = 2 кг единяющей точки с массами т и тъ (рис). Координаты

Шз = 3 кг соответствующих масс будут равны:

а = 1 м_

'с-?

В соответствии с формулой координат центра масс определяем:

Модуль радиус-вектора центра масс рассматриваемой системы:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.1. При маневрировании космического корабля из его двигателей вырывается струя газов со скоростью и = 850 м/с, при этом расход горючего составляет Am!At = 0,25 кг/с. Определите реактивную силу двигателей корабля.

Ответ: F = 0,„) = 212,5 Н.

р = 1,32 кг/м3).

Задача 3.2. Вертолет с ротором, диаметр d которого равен 14 м, находится в воздухе над одной и той же точкой поверхности Земли. Ротор отбрасывает вертикально вниз струю воздуха со скоростью п = 10 м/с. Определите, какая масса воздуха ежесекундно отбрасывается ротором вертолета вертикально вниз (считайте, что диаметр струи приблизительно равен диаметру вращающегося ротора; плотность воздуха

Задача* 3.3. На внутренней поверхности сферы радиусом 0,1 м, вращающейся вокруг вертикальной оси, находится небольшой предмет. С какой постоянной частотой должна вращаться сфера, чтобы предмет находился в точке, направление на которую составляет угол 45°? Коэффициент трения между предметом и поверхностью сферы равен 0,2 (g* 10 м/с2).

Задача 3.4. По наклонной плоскости скользят два груза массами т = 1 кг и пъ = 2 кг, связанные невесомой нерастяжимой нитью. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны, соответственно: Pi = 0,7; р2 = 0,6. Определите силу натяжения нити, если угол наклона плоскости к горизонту а = 30 °.

Задача 3.5. Футбольный мяч при движении в воздухе испытывает силу сопротивления, пропорциональную квадрату скорости мяча относительно воздуха. Перед ударом футболиста мяч двигался в воздухе горизонтально со скоростью i)i = 20 м/с и ускорением а = 13 м/с2. После удара мяч полетел вертикально вверх со скоростью в2 = Ю м/с. Каково ускорение а2 мяча сразу после удара?

Ответ: =(&/)и2 + ?= 12 м/с2.

Задача* 3.6. Человек, сидящий в лодке, бросает камень вдоль нее под углом 45° к горизонту. Масса камня 10 кг, масса человека и лодки 100 кг, начальная скорость камня относительно берега 10 м/с. Найдите расстояние между точкой падения камня и лодкой в момент, когда камень коснется воды. Считать, что во время полета камня, лодка движется равномерно.

i+^

Ответ: о —

  • 11 м.
  • 2u;;sinacosa

g V 2 )

Задача 3.7. Орудие, имеющее массу ствола 500 кг, стреляет в горизонтальном направлении. Масса снаряда 5 кг, его начальная скорость 460 м/с. После выстрела ствол откатывается на 40 см. Определите среднее значение силы торможения, возникающей в противооткатном устройстве. Ответ представьте в килоньютонах.

Ответ: FT = та= 13,2 кН.

Задача 3.8. Через невесомый блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы массами 1 кг и 2 кг. На второй из грузов положен перегрузок массой 0,5 кг. С какой силой будет действовать этот перегрузок на тело, на котором он лежит, если вся система придет в движение?

Ответ: 2"W = 2,8 Н.

т] + т2 + т3

Задача* 3.9. При движении в воздухе пули массой т = 20 г ее скорость уменьшилась от г>о = 700 м/с до и= 100 м/с за время At = 1 с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости, определите коэффициент сопротивления движению к. (Действием силы тяжести пренебрегаем.)

Ответ: к = т^Х>0—— = 1,7 • 10 кг/с.

ту

Задача 3.10. Два одинаковых шарика налетают друг на друга со скоростями ь | и г> г под углом а и разлетаются после абсолютно упругого удара со скоростями и и м2. Найти угол р разлета шариков после соударения.

Л „ /и.2 + и; -и~ -и + 2и.и, cos a ^

Ответ: р = arccos -------- .

V 2 uxii2 )

Задача 3.11. Через неподвижный блок перекинули нить, к концам которой подвешали два груза массой 200 г. Какой добавочный груз нужно поместить на один из висящих грузов, чтобы каждый из них переместился на 150 см за 5 с.

Ответ: Ат = 2ma/(g - а)= 0,005 кг.

Задача 3.12. На столе стоит тележка т = 4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением а будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой т2 = 1 кг?

Ответ: а = /W2g/(wi + т2) = 1,96 м/с2.

Задача 3.13. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концу которого привязали грузы массами т = 1,5 кг т = 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

Ответ: F = m'ni2 g = 39,2H. т] + т2

Задача 3.14. На гладком столе лежит брусок массой т = 4 кг. К бруску привязаны два шнура, перекинутые через неподвижные блоки, прикрепленные к противоположным краям стола. К концу шнуров подвешены гири, массы которых т= 1 кг и т = 2 кг. Найти ускорение а, с которым движется брусок, и силу натяжения каждого из шнуров. Массой блоков и терния пренебречь.

ОТВет: а= ~ "h-)g = 1,4 м/с. т, + т2 + т

Задача 3.15. Шарик массой т = 300 г ударился о стену и отскочил от неё. Определить импульс ри полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость и0 = М м/с, направленную под углом а = 30° к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим.

Ответ: р = 2wi)osina = 3 Н с.

Задача* 3.16. Парашютист, масса которого т = 80 кг, совершает затяжной прыжок. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости парашютиста Fr =&и2, где коэффициент сопротивления

равен к — 0,6кг/м. Начальная скорость парашютиста равна нулю. Определить, через какой промежуток времени t скорость падения парашютиста будет равна 0,9 от скорости )с установившегося движения.

In 19

Ответ: / =

  • 80
  • 0,6-9,8

= 5,43 с.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >