Примеры решения задач

Задача 4.1. К стальному стержню длиной 30 см и сечением 2 см2 подвешен груз массой 3 т. Определите относительное удлинение стержня; энергию упругой деформации стержня. Модуль Юнга принять равным 2,2* 10м Па.

Дано: Решение. Согласно закону Гука

/ = 0,3 м

S = 2-1 O'4 м2 где <5 - FfS - механическое напряжение, a F - упругая

т = 3* 103 кг сила, по модулю равная силе тяжести F = mg.

? = 2,2-10" Па „ mg

e-lEy-1 ES

Энергия упругой деформации стержня равна работе деформирующей силы по удлинению стержня на А/:

Абсолютное удлинение А/ = г/. Тогда искомая энергия упругой деформации стержня:

Ответ: е = 6,69 • 10-4; Еу = 2,95 Дж.

Задача 4.2. Определите, за какое время тело, соскальзывая по наклонной плоскости, пройдет вторую половину пути, если угол наклона а = 30°, коэффициент трения тела о плоскость р = 0,5, длина наклонной плоскости s = 2,8м.

Дано: Решение. Запишем второй закон Ньютона для тела,

а = 45° движущегося вдоль наклонной плоскости в векторном виде: р = 0,5 s = 2,8 м

s

s2=~

2

'2—?

где mg- сила тяжести, N-сила нормальной реакции опоры, F^-сила трения между телом и поверхностью.

Выбрав оси координат, как показано на рисунке, запишем уравнение (1) в проекциях на оси х и у:

Решая уравнения (2) и (3) совместно и учитывая, что сила трения FfJt = [iN, получим выражение для ускорения:

Поскольку начальная скорость v0v=0,to s = at2j2, отсюда время, затраченное для прохождения всей наклонной плоскости,

Для первой половины пути с учетом того, что .v, = s/2,

Искомое время

Проверим размерность:

Ответ: t2 = 0,854 с.

Задача 4.3. На рисунке изображен кубик, лежащий на шероховатой горизонтальной плоскости.

Масса кубика т, коэффициент трения кубика о плоскость р. Наша задача - опрокинуть его через ребро, прилагая горизонтально направленную F.

Найдем условие смещения кубика без проскальзывания.

Решение. На кубик действует сила F, силы тяжести mg и реакции

i 1 1 j- 1 1

Nh fw. Из условия F + wg + N + F^ =0 находим N = mg, FTp = F. Скольжение отсутствует при условии

Найдем теперь область возможных значений величины силы F в зависимости от угла а между нижней гранью кубика и горизонтальной плоскостью. Приравняем к нулю сумму моментов сил относительно прямой, на которой лежит ребро кубика. Плечо силы тяжести Л0 = /?cos(a + я/4),плечо силы F равно h = 2/?sin(a + я/4),где R = ОС. Из второго условия равновесия находим

Величина F изменяется от значения mg/2 при a = 0 до значения F = 0 при a = я/4.

Следовательно, кубик можно «кантовать» при условии р > 1/2.

А теперь попытаемся перевернуть через ребро призму, имеющую в сечении правильный 2и-угольник. К ребру верхней грани приложим горизонтально направленную силу F.

Покажите, что в этом случае F = (mg/2)tg(n/2n - а). Условие «качения» призмы приобретает вид р > (/2)tg(n/2n). При увеличении числа граней величина силы F уменьшается и условия качения становятся менее жесткими.

Задача 4.4. Как не упасть с лестницы. Лестница ЛВ массой т0

упирается в гладкую стену и опирается на шероховатый пол. Под каким

наименьшим углом а к полу надо поставить лестницу, чтобы по ней до

самого верха мог подняться человек массой m2 Коэффициент трения

скольжения лестницы о пол равен р.

Решение. Изобразим лестницу (рис.), примем

её за стержень длиной /, изобразим приложенные к

нему силы. Со стороны стены на лестницу дейст- 1 1

вует реакция N4, со стороны пола - реакция NB и 1

сила трения покоя FM. При скольжении лестницы F = рNв. Очевидно, лестница не будет скользить при условии

Сила тяжести т0g приложена в середине лестницы. Со стороны человека, стоящего на расстоянии s от конца В лестницы, действует сила

* г

давления, равная весу человека Р = mg.

Выберем два взаимно перпендикулярных направления по горизонтали и вертикали (оси а* и у). Тогда первое условие равновесия имеет вид

Запишем далее второе условие равновесия - приравняем нулю сумму моментов сил относительно оси, проходящей через точку В (в этом случае моменты сил Fтр и Nn равны нулю):

Из уравнений (3) и (4) получим

Подставляя и Nb из (1) в (2), находим, что человек может подняться наверх (s = /), если угол а удовлетворяет условию

Задача* 4.5. Альпинист па вертикальной стене. На рисунке показаны этапы прохождения стенки связкой - двойкой. Веревка закреплена в точке S. Лидер с рюкзаком общей массой т = 100 кг поднялся на скалу высотой И относительно напарника 5, забил в точке страховки F крюк, подвернул веревку через карабин и поднялся еще на расстояние h. Длина ве

ревки в этом положении /0 = h + hx, h = 5 м, А, = 3 м . При срыве лидер падает до точки F2, в которой скорость равна нулю. Качество веревки задается «модулем веревки» / = А70, где к - коэффициент жесткости веревки,/= 40 кН. Найдите удлинение веревки А/ = /2 - /0 (12 = h + h2 - длина веревки в

положении F2) и величину силы F = кА1,(к = ///0), действующей на лидера со стороны веревки в точке F2.

Решение. Выберем начало оси z в точке S. Потенциальная энергия альпиниста fV{z)=mgz + k{l-l0)2/2, где / - длина веревки, к = ///0 . Для оценок трением отдельных нитей веревки друг о друга пренебречь. Тогда полные энергии груза в положениях z =/() и z = /2 одинаковы. Из закона сохранения полной энергии получим уравнение

Удлинение веревки А/ = /?2 - /?,,/2 = /0 + А/,/? - /?2 = 2/; - /0 - А/. Из уравнения (1) получим:

отсюда находим где е0 = 2(/0 - h)/l0 - фактор падения, 2(/0 -h) - «потеря» высоты. Полагая Со = 1,6, получим удлинение веревки А/ = 2,42 м, относительное удлинение Д///0 = 0,3. Величина силы, действующей на альпиниста со стороны веревки, F = 12,18 кН. Однако максимальное значение усиления, которое может выдержать тело человека, Fmax = 5 кН. Наиболее серьезное падение с фактором е0 = 2: высота падения равна удвоенной длине веревки. В этом случае Д///0 = 0,34,F = 13,4кН. Из второго закона Ньютона та2 = -mg + k(l2 -/0) получим а2 = 12,71g.

Современная альпинистская веревка содержит сердцевину с модулем /1 при удлинении Д/, =/j-/0 и модулем f2 ПРИ дальнейшем удлинении Д/2 =/2 -/0. Такая веревка позволяет получить приемлемое значение величины силы F = к2А12.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >