Примеры решения задач

Задача 6.1. Мощность моторов самолета массой 4 т при отрыве от земли N = 600 кВт. Разгоняясь равноускоренно, самолет достигает скорости о = 30 м/с. Принимая, что коэффициент сопротивления р = 0,04 не зависит от скорости, определите длину пробега самолета перед взлетом. Дано: СИ Решение. Выбрав направление оси jc в

т = 4 т 41 о3 кг горизонтальном направлении в сторону дви-

N=600 кВт 6105 Вт жения самолета (см. рис.), запишем II закон

и = 30 м/с Ньютона в проекции на эту ось при движении

р = 0,04 самолета по взлетной полосе:

/-?

та = Fj - рN,

где FT - сила тяги моторов. Так как N = mg, то отсюда сила тяги моторов

Мощность двигателя N = FTi), следовательно Исходя из этого получаем:

Так как движение равноускоренное, а начальная скорость не дана, это уравнение можно записать в следующем виде:

отсюда длина пробега самолета перед взлетом

Ответ: / = 97,7 м.

Задача 6.2. На край тележки массой М = 5 кг, равномерно движущейся по рельсам, опускают с небольшой высоты короткий брусок массой т = 1 кг. Коэффициент трения бруска о тележку р. = 0,5, между тележкой и рельсами трение отсутствует. На какое расстояние s переместится брусок по тележке, если её длина / = 0,5 м, а скорость тележки постоянна и равна Di = 2 м/с? При какой минимальной скорости тележки брусок соскользнет с неё? Какое количество тепловой энергии выделится при этом?

Дано:

М = 5 кг вы

т = 1 кг го]

р = 0,5 ву:

/ = 0,5 м им

i)i = 2 м/с S-? гд<

^Imin ?

Q-1

Решение. При взаимодействии бруска и тележки выполняется закон сохранения импульса. Поскольку в горизонтальном направлении внешние силы не действуют, го в проекции на ось х (рис.) закон сохранения импульса можно записать в виде:

М)| = (Л/+/и)ц,

где и - скорость тележки после остановки бруска. Отсюда:

В системе брусок - тележка действует сила трения, поэтому закон сохранения энергии можно представить в виде

где Е|К, /?2к - кинетическая энергия системы в момент времени сразу после опускания бруска и в момент остановки бруска, соответственно.

Используя это выражение и работу силы трения скольжения, получим:

Исходя из этого получим искомое расстояние:

Ответ: s = 0,339м; olmjn =5,42м/с; Q = 1,67 Дж. Задача 6.3. С вершины идеально гладкой полусферы радиусом R = 60 см без трения соскальзывает небольшое тело. Определите, на каком расстоянии от вершины тело оторвется от полусферы.

По условиям задачи брусок должен соскользнуть с тележки, это случится, если s > I, т. е.

Искомая минимальная скорость, при которой брусок соскользнет с неё:

Количество теплоты, выделившееся за время движения бруска относительно тележки:

используя это выражение и выражение для скорости тележки, получим:

Дано:

R = 60 см_

/*1 -?

Решение. Тело вплоть до момента отрыва движется по полусфере под действием силы тяжести mg и силы нормальной реакции N полусферы. Запишем второй закон Ньютона для тела в проекциях на ось Y, направленную вдоль радиуса к центру окружности. Согласно рис.

где cosa = h/R4 h - высота, на которой тело оторвется от полусферы.

В момент отрыва сила реакции опоры N = 0. Тогда

Согласно закону сохранения механической энергии

Подставив (I) в (2), найдем:

Искомое расстояние тогда

Ответ: h = 20 см.

Задача 6.4. Два свинцовых шара массами т = 2 кг и т2 = 3 кг подвешены на нитях длиной / = 70 см так, что касаются друг друга. Меньший шар отклонили на угол a =

60° и отпустили. Считая удар центральным и неупругим, определите высоту /7, на которую поднимутся шары после удара. Найдите энергию АЕК, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Дано:

/721 =2 КГ /772 = 3 КГ

/ = 70 СМ « = 60°

Решение: Удар неупругий, поэтому после удара шары движутся вместе со скоростью и, которую найдем из закона сохранения импульса:

где i>i и 1)2 - скорости шаров до удара. Скорость )| малого шара найдем из закона сохранения механической энергии:

/7-?

- ? тогда

где /?, = /(1 - cos а).

Из выражений (1) и (2), при условии, что )j = 0, получим Из закона сохранения механической энергии имеем: отсюда, с учетом (3), искомая высота

Энергия, израсходованная на деформацию шаров при ударе,

Подставив (2) в (4), получаем:

Ответ: И = 5,6 см; ДЕк= 4, 12 Дж.

Задача 6.5. Полет на ядре. Артиллеристы стреляют так, чтобы ядро попало в неприятельский лагерь, находящийся в /0 = 7,2 км от пушки. В момент вылета ядра из дула на него вскакивает барон Мюнхаузен (абсолютно нсупругий удар), масса которого в /; = 5 раз больше массы ядра. Из-за этого ядро падает, не долетев до цели. Какое расстояние барону придется пройти пешком, чтобы добраться до неприятельского лагеря? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Если ядро вылетело из дула со скоростью иу, то после [1]

т - масса ядра, а М - масса Мюнхаузена. Артиллеристы рассчитывали

и2

угол возвышения а орудия по формуле /0=— sin 2а. Поскольку ско-

Z

рость изменилась, а угол остался прежним, дальность полета составит Поэтому барону надо будет пройти расстояние

Иными словами, барону удалось пролететь на ядре только 200 м.

Задача[2] 6.6. Ракета движется, выбрасывая струю газа с постоянной скоростью и, = 900 м/с. Расход газа q = 0,25 кг/с, начальная масса ракеты то = 1,5 кг. Какую скорость относительно Земли приобретет ракета через / = 2 с после начала движения?

дано. Решение: На основании закона сохранения импуль-

ог = 900 м/с са Для системы «ракета - струя газа» запишем: q = 0,25 кг/с

w0 =1,5 кг 4 i

t = 2 с где брй и dpa - изменение импульса ракеты и газа, соот-

Подставив выражения (3) и (4) в (2), получим: (ш0 - qt)dv - qvvdt - 0 или dx> =

*о . , . .

Щ ~ Я*

Интегрировав эти уравнения при начальной скорости ракеты, равной нулю, получим:

Размерность: [о] = м/с.

Проведем расчеты: о = 900Inf-—-] = 365 м/с.

11,5-0,25-2 J

V 1,5-0,25 •

Ответ: о = 365 м/с.

Задача 6.7. Гибкая однородная цепь длиной L может двигаться по желобу, имеющему в сечении форму равнобедренного треугольника с углом 2а при вершине и расположенному в вертикальной плоскости. Трение отсутствует, предполагается, что цепь прилегает к желобу. Найти наименьшую начальную скорость цепи, необходимую для преодоления такой горки. В начальный момент времени расстояние между горизонтальными прямыми, проходящими через центр тяжести цепи и вершины желоба, равно Я.

Решение. Цепь перевалит через горку, если в тот момент времени, когда середина цепи достигнет вершины желоба, скорость цепи обратится в нуль. Выберем в качестве нулевого уровня потенциальной энергии горизонтальную прямую, проходящую через вершину желоба. Тогда в начальном состоянии полная энергия цепи равна

В конечном состоянии центр тяжести цепи находится на расстоянии (L/4)cosaoT вершины треугольника; полная энергия

Заметим, что для точечного тела наименьшая скорость равна yf2gff. В нашем примере и < ftgif.

Этот пример поясняет, почему прыгун в высоту, использующий технику «форсбери-флоп», может достичь большей высоты, чем при прыжке перекатом. Совершая прыжок, Дик Форсбери перенес через планку сначала корпус, голову и ноги, при этом центр тяжести оставался ниже уровня планки.

  • [1] ~ г ю)0 вскакивания на него барона его скорость стала равной и =-, где М + т
  • [2] ^ ? ветствснно, за промежуток времени dt. В проекции на ось оу уравнение (1) примет вид: Если в момент времени / ракета имела массу т = т0 - qt, то за время dt скорость ракеты за счет реактивного действия газовой струи изменится на du, а импульс ракеты - на величину 1 Порция газа qdty двигаясь вместе с ракетой, обладает скоростью и.Покинув ракету, эта же масса газа за время d/ приобретает относительноЗемли скорость и + о.. Таким образом, импульс порции газа, выброшенной из ракеты, изменится на величину
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >