ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Любое движение твердого тела сводится к поступательному и вращательному. Это означает, что произвольное движение можно представить в виде суперпозиции поступательного движения тела, характеризуемого движением любой его точки (центра масс), и вращения тела вокруг этой точки (т. с. вокруг осей проходящих через неё).

Вращательное движение твердого тела относительно точки

Рассмотрим твердое тело как некую систему (рис. 7.1), состоящую из п точек (ш] пь ... т„); ц - радиус-вектор /-Й точки, проведенный из точки О - центра неподвижной инерциальной системы отсчета. Обозначим F. - внешняя сила, действующая на /-ю точку, ?ik - сила действия со стороны к-Pi точки на /-ю.

Вращение системы материальных точек вокруг точки О - центра неподвижной инерциальной системы отсчета

Рис. 7.1. Вращение системы материальных точек вокруг точки О - центра неподвижной инерциальной системы отсчета

Запишем основное уравнение динамики для точки (см. и. 3.6): Умножим обе части этого уравнения вскторно на г :

Знак производной можно вынести за знак векторного произведения (и знак суммы тоже), тогда

Векторное произведение г точки на её импульс называется мо-

1

ментом импульса (количества движения) L, этой точки относительно точки О:

Три вектора в (7.1.1) образуют правую тройку векторов, связанных «правилом буравчика» (рис. 7.2).

^Величина момента импульса L, = Ц = pr sin а = pi

Рис. 7.3.^Величина момента импульса L, = Ц = pr sin а = pi

Для материальной точки массой т момент импульса

г г г

Три взаимно перпендикулярных вектора L=[i;,p]

Рис. 7.2. Три взаимно перпендикулярных вектора L=[i;,p/];

L, = ptf

Направление вектора Lt ортогонально плоскости, в которой лежат 1 , 1

векторы г е р., а величина этого вектора

где / = rsina - плечо импульса (рис. 7.3).

Векторное произведение I*, проведенного в точку приложения си-

1

лы, на эту силу, называется моментом силы М, (рис. 7.4):

Пусть /, - плечо силы F, (рис. 7.5). Т. к. sin(l 80 - a) = sin a, то

С учетом новых обозначений

123

1 r 1

Рис. 7.4. Момент силы М, = [г,F]

Рис. 7.4. Момент силы М, =[i;,F ] Рис. 7.5. Модуль момента силы

М. = М. = Fr sin а = FZ-

Запишем систему п уравнений для всех точек системы и сложим их левые и правые части:

Здесь сумма производных равна производной суммы:

1 1

где L - момент импульса системы, М - результирующий момент всех внешних сил относительно точки О.

Так как

Отсюда получим основной закон динамики вращательного движения твердого тела, вращающегося вокруг точки.

Это выражение называется уравнением моментов.

Момент импульса системы L является основной динамической характеристикой вращающегося тела.

Из сравнения этого уравнения с основным уравнением динамики поступательного движения (п. 3.6),

видно их внешнее сходство.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >