Расчет моментов инерции некоторых простых тел. Теорема Штейнера

По формуле J = j/?2d/w не всегда просто удается рассчитать момент инерции тел произвольной формы.

Наиболее легко эта задача решается для тел простых форм, вращающихся вокруг оси, проходящей через центр инерции тела С. В этом случае, при вычислении Jc по формуле (6.2.1), появляется коэффициент к:

Рассмотрим однородный диск, имеющий радиус /?, массу т и толщину а, ось вращения ОО' которого проходит через центр масс - С (рис. 7.8).

Разобьём мысленно диск на малые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом г и внешним (г + dr). По формуле (7.2.2) найдем момент инерции диска как сумму моментов инерции малых полых цилиндров объемом 2nrdra:

Интегрируя данное выражение, получим

К выводу момента инерции при вращении однородного диска вокруг оси ОСУ

Рис. 7.8. К выводу момента инерции при вращении однородного диска вокруг оси ОСУ

Далее без вывода запишем формулы для вычисления моментов инерции некоторых однородных тел, имеющих массу т, когда ось вращения проходит через центр масс (рис. 7.9).

При вычислении момента инерции тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр инерции (рис. 7.10), следует пользоваться теоремой о параллельном переносе осей, теоремой Штейнера ':

Момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J( относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Моменты инерции шара, диска, стержня

Рис. 7.9. Моменты инерции шара, диска, стержня

С помощью теоремы Штейнера, например, можно легко рассчитать момент инерции стержня массой т длиной / вращающегося вокруг оси, проходящей через конец стержня (рис. 7.11).

К теореме Штейнера

Рис. 7.10. К теореме Штейнера

Рис. 7.11. К расчету момента инерции стержня

Момент инерции стержня, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр,

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >