Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия - величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех п материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоро-

1 м I 1

стью (о, то линейная скорость /-й точки = со/? , /?, - расстояние до оси вращения. Следовательно,

Сопоставив (7.4.1) и (7.4.2), можно увидеть, что момент инерции тела J является мерой инертности при вращательном движении, так же как масса т -мера инерции при поступательном движении.

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью ьс и вращательного с угловой скоростью со вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого тела

Здесь Jc - момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

Применение закона сохранения энергии при скатывании тел с наклонной плоскости

При скатывании тел (например, обруча, сплошного цилиндра, шара) с наклонной плоскости считаем, что скатывающееся тело обладает симметрией вращения относительно геометрической оси и при движении не возникает скольжения (рис. 7.12).

Пусть с наклонной плоскости высотой h без скольжения скатываются: обруч; сплошной цилиндр; шар. Определим скорости, которые будут иметь тела у основания наклонной плоскости. Радиусы тел равны /?.

При скатывании тела с наклонной плоскости согласно закону сохранения энергии, потенциальная энергия тела переходит в кинетическую энергию поступательного движения со скоростью и центра масс и кинетическую энергию вращения вокруг оси, проходящей через центр масс:

где т - масса тела, J - момент инерции тела. Учитывая, что

получаем

Скатывание тела с наклонной плоскости

Рис. 7.12. Скатывание тела с наклонной плоскости

_ I 2gh

Тогда искомая скорость тел ц = (-—-— .

V 1 + J/(ni R2)

1. Для обруча J = mR2, где о = «Jgh .

п г /Ий2[gh

2. Для сплошного цилиндра J = —— ,v = 2J^j-.

» _ , 2 ,

3. Для шара J = — mRz,) = J—-— .

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >