Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения

Силы тяготения являются консервативными. Эго значит, что работа в поле этих сил пропорциональна произведению масс т и М материальных точек и зависит только от начального и конечного положения этих точек. Покажем это на простом примере (рис. 8.5).

Определим работу, совершенную силами поля тяготения при перемещении в нём материальной точки массой т (работу по удалению материальной точки массой т от Земли массой М на расстояние /*).

На данную точку в положении 1 действует сила F = утМ /г2.

К определению работы сил гравитационного поля при перемещении материальной точки массы т из полож ения 1 в положение 2

Рис. 8.5. К определению работы сил гравитационного поля при перемещении материальной точки массы т из полож ения 1 в положение 2

При перемещении этой точки на расстояние dr совершается работа

(знак минус показывает, что сила и перемещение противоположны). Тогда общая работа

Эта формула показывает, что затраченная работа не зависит от траектории, а зависит лишь от координат точки.

Работа консервативных сил при перемещении точки т вдоль произвольного замкнутого контура L тождественноравна нулю:

1

Эти интегралы называются циркуляцией соответствующих векторов F и G вдоль замкнутого контура. Равенство нулю этих циркулирующих векторов является необходимым и достаточным признаком консервативности силового поля F.

Из (8.3.1) следует, что работа А, совершенная консервативными силами, равна уменьшению потенциальной энергии системы. В нашем случае работа равна уменьшению потенциальной энергии U материальной точки, перемещающейся в поле тяготения.

В случае поля тяготения создаваемого материальной точкой с массой М

При рассмотрении гравитационного поля Земли формулу (8.3.3) можно переписать в виде

Зависимость потенциальной энергии гравитационного поля от расстояния до центра Земли

Рис. 8.6. Зависимость потенциальной энергии гравитационного поля от расстояния до центра Земли

Принято считать, что потенциальная энергия на поверхности Земли равна нулю (рис. 8.6). Штрихованной линией здесь показана потенциальная энергия внутри Земли. При г = 0, в центре Земли:

Если условиться считать, что потенциальная энергия точки т стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от источника поля точки Л/, тогда из (8.3.3) получаем

или, в силу произвольности выбора точки К

Величину Еп называют взаимной потенциальной энергией обеих точек.

Величинаравна отношению потенциальной энергии материальной точки в поле тяготения к массе т:

является энергетической характеристикой самого поля тяготения и называется потенциалом поля тяготения.

По аналогии с потенциалом электростатического поля, роль заряда здесь выполняет масса т. Потенциал - величина скалярная.

Потенциал поля тяготения, создаваемый одной материальной точ- « д, М

кои с массой М, равен ср = —у —, где г - расстояние от этой точки до

г

рассматриваемой точки поля.

Из сопоставления двух последних соотношений следует

т. е. потенциал в некоторых точках поля, являющегося результатом наложения полей, равен сумме потенциалов в этой точке, соответствующих каждому из полей в отдельности (принцип суперпозиции).

Между двумя характеристиками поля тяготения - напряженностью и потенциалом - существует взаимосвязь. Найдем её.

Из выражений (8.2.1) и (8.3.6.) следует, что F = mG , а Еп = /жр.

1 i

Так как F = -V?v (5.3.7.), то mG = -mV(p, откуда

1

Таким образом, вектор напряженности G может быть выражен как градиент скалярной функции гравитационного потенциала ср: где

Здесь вектор, называемый градиентом потенциала со знаком минус, показывает, что в каждой точке поля тяготения вектор напряженности G направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала.

Гравитационнос поле можно изобразить с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей (рис. 8.7).

Эквипотенциальные поверхности - геометрическое место точек

с одинаковым потенциалом. Линии напряженности G (силовые линии поля) всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Графическая зависимость напряженности гравитационного поля Земли (и ускорения а) от расстояния до центра Земли изображена на рис. 8.8.

Из рисунка видно, что внутри Земли G растет пропорционально г,

а вне Земли убывает ~1 2. Так же и ускорение a = gr/R3 - внутри Земли; а = gR3 /г2 - вне Земли.

Линии напряженности G и Рис. 8.8. Зависимость

Рис. 8.7. Линии напряженности G и Рис. 8.8. Зависимость

эквипотенциальные поверхности (р/ и напряженности G и ускорения а (р2 гравитационного поля от расстояния до центра Земли

Закон всемирного тяготения и механика Ньютона явились величайшим достижением естествознания. Они с большой точностью описывают обширный круг явлений, в том числе движение в иных системах небесных тел - двойных звезд в звездных скоплениях, галактиках. На основе теории тяготения Ньютона было предсказано существование планеты Нептун, спутников Сириуса и др. В астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на основе которого вычисляются движение, строение и эволюция небесных тел. Однако, в некоторых случаях, поле тяготения и движение физических объектов в полях тяготения не может быть описано законами Ньютона. Сильные гравитационные поля и движение в них с большими скоростями о « с описываются в общей теории относительности (ОТО), созданной А. Эйнштейном.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >