Законы Кеплера. Космические скорости

Еще в глубокой древности было замечено, что, в отличие от звезд, которые неизменно сохраняют свое взаимное расположение в пространстве в течение столетий, планеты описывают среди звезд сложнейшие траектории. Для объяснения петлеобразного движения планет древнегреческий ученый К. Пталомей31 (II в. н. э.), считая Землю расположенной в центре Вселенной, предположил, что каждая из планет движется по малому кругу (эпициклу), центр которого равномерно движется по большому кругу, в центре которого находится Земля. Эта концепция получила название пталомеевой или геоцентрической системой мира.

В начале XVI века польским астрономом Н. Коперником обоснована гелиоцентрическая система, согласно которой движения небесных тел объясняются движением Земли (а также других планет) вокруг Солнца и суточным вращением Земли (рис. 8.9).

Рис. 8.9.

Гглиоцентрическая система мира

Теория наблюдения Коперника воспринималась как занимательная фантазия. В XVI в. это утверждение рассматривалось церковью как ересь. Известно, что Дж. Бруно32, открыто выступивший в поддержку гелиоцентрической системы Коперника, был осужден инквизицией и сожжен на костре.

Однако к началу XVII столетия большинство ученых убедились в справедливости гелиоцентрической системы мира. Иоганн Кеплер, обработав результаты многочисленных наблюдений, проведенных Тихо Браге'3 (которого называют «человеком, измерившим небо»), получил законы движения планет вокруг Солнца.

Кеплер Иоганн (1571-1630) - немецкий ученый, один из творцов небесной механики. Работы в области астрономии, механики, математики. Используя наблюдения Тихо Браге и свои собственные, открыл законы движения планет (три закона Кеплера). Известен как конструктор телескопа (так называемая зрительная труба Кеплера, состоящая из двух двояковыпуклых линз).

Закон всемирного тяготения был открыт Ньютоном на основе трех законов Кеплера.

Первый закон Кеплера. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце (рис. 8.10).

Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты описывает в равные времена равные площади (рис. 8.11).

Третий закон Кеплера. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Эллиптическое движение Земли вокруг Солнца. F/ и F2 - фокусы эллипса

Рис. 8.10. Эллиптическое движение Земли вокруг Солнца. F/ и F2 - фокусы эллипса

Рис. 8.11. Равные площади, описанные радиус-вектором за равные времена

Почти все планеты (кроме Плутона, который по современным представлениям уже не считается планетой) движутся в одной плоскости по орбитам, близким к круговым. Для круговых орбит первый и второй законы Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что Т2 ~ Л3 (Т - период обращения; R - радиус орбиты).

Ныотон решил обратную задачу механики и из законов движения планет получил выражение для гравитационной силы:

Как нам уже известно, гравитационные силы являются консервативными. При перемещении тела в гравитационном поле консервативных сил по замкнутой траектории работа равна нулю. Свойство консервативности гравитационных сил позволило нам ввести понятие п от ен ц нал иной энерги и.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии г от центра тяготения и имеет некоторую скорость и, его полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий и, в соответствии с законом сохранения энергии, остается

Потенциальная энергия тела массой пи расположенного на расстоянии г от большого тела массой Л/, есть

неизменной:

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела.

При Е < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние г() > гшах . В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (спутники планет, планеты Солнечной системы, кометы) (рис. 8.12).

Траектории движения тел с различными космическими скоростями

Рис. 8.12. Траектории движения тел с различными космическими скоростями

Период обращения небесного тела по эллиптической орбите равен периоду обращения по круговой орбите радиусом R, где R - большая полуось орбиты.

При Е = 0 тело движется по параболической траектории. Скорость тела на бесконечности равна нулю.

При Е > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Первой космической скоростью называется скорость движения тела по круговой орбите вблизи поверхности Земли (рис. 8.12). Для этого, как следует из второго закона Ньютона, центробежная сила должна уравновешиваться гравитационной силой:

Второй космической скоростью называется скорость движения тела по параболической траектории. Она равна минимальной скорости, которую нужно сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно, преодолев земное притяжение, стало искусственным спутником Солнца (искусственная планета). Для этого необходимо, чтобы кинетическая энергия тела была не меньше работы по преодолению тяготения Земли:

Третья космическая скорость - скорость движения, при которой тело может навсегда покинуть пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца.

Чтобы преодолеть силу притяжения Солнца, телу, находящемуся на Земле, надо придать скорость и3. Эта скорость определяется аналогично о2, т. е. из равенства кинетической энергии тела и его потенциальной энергии в поле Солнца при его удалении в бесконечность:

где Rq - радиус земной орбиты; Л/с - масса Солнца. Отсюда:

С учетом того что Земля вращается вокруг своей оси со скоростью 30 км/с, значения третьей космической скорости зависят от направления запуска ракет и изменяются в пределах от 16,6 до 73 км/с. Таким образом, при оптимальном запуске и3 = 16,7 * 103 м/с.

Более подробно расчет третьей космической скорости приведен в задаче 8.2.

Сообщение телам таких больших начальных скоростей является сложной технической задачей. Теоретическую разработку таких задач начал русский ученый К.Э. Циолковский.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >