Однородная однослойная цилиндрическая стенка.

Найдем для стационарного режима теплопроводности температурное поле и поверхностную плотность теплового потока для однородной однослойной цилиндрической стенки (рис. 7.6). Для решения поставленной задачи используем дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах.

Ось 2 направим по оси трубы. Примем, что длина трубы по сравнению с диаметром бесконечно велика. В этом случае можно пренебречь влиянием торцов трубы на распределение температур вдоль оси z. Будем считать, что в связи с равномерным подводом и отводом теплоты температура на внутренней поверхности повсеместно равна ?CTi, а на наружной поверхности — ?СТ2 (граничные условия первого рода). При этих упрощениях dt/dz = 0, а ввиду симметрии температурного поля относительно любого диаметра dt/d(p = 0. Изотермическими поверхностями в этом случае будут поверхности цилиндров, соосные с осью трубы. Таким образом, задача сводится к определению одномерного поля температур t=f (г), где г — текущий радиус цилиндрической стенки.

Однослойная цилиндрическая стенка

Рис. 7.6. Однослойная цилиндрическая стенка

Дифференциальное уравнение теплопроводности (7.19) при условии dt/dт = 0 примет вид

Введем новую переменную

которая является градиентом температур (grad t.).

Подставляя переменную и в (7.43), получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

или

Интегрируя, получаем

Для цилиндрической стенки температурный градиент является величиной переменной, возрастающей с уменьшением радиуса г. Следовательно, на внутренней поверхности температурный градиент больше, чем на наружной.

Подставляя значение и из (7.44) в (7.45), получаем

и

где anb — постоянные интегрирования.

Следовательно, кривая распределения температур по толщине стенки является логарифмической кривой (кривая а—b на рис. 7.6).

Определим постоянные а и Ь, входящие в уравнение температурного поля, исходя из граничных условий первого рода. Внутренний радиус поверхности обозначим гх, наружный — г2. Соответствующие диаметры обозначим dx и d2. Тогда имеем систему уравнений

' -• I V"Z

Решая данную систему уравнений, получаем

Уравнение температурного ноля примет вид

Температурный градиент определяем но формуле (7.45):

где <7, — внутренний диаметр трубы; d2 — наружный диаметр трубы

Так как ?CTi > tCT2, а г, < г2, то проекция grad t на радиус-вектор имеет отрицательное значение.

Последнее показывает, что для данного случая тепловой поток направлен от центра к периферии.

Для определения теплового потока, проходящего через участок цилиндрической поверхности длиной L, воспользуемся уравнением

Из (7.46) следует, что тепловой поток, проходящий сквозь цилиндрическую поверхность, зависит от соотношения наружного и внутреннего радиусов г2/ гх (или диаметров d2/ d{), а не от толщины стенки.

Поверхностная плотность теплового потока для цилиндрической поверхности может быть найдена путем отнесения теплового потока Ф к площади внутренней поверхности Авп или к площади наружной поверхности Анп. В расчетах иногда используют линейную плотность теплового потока:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >