Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

Дифференциальное уравнение энергии.

Выведем дифференциальное уравнение энергии, описывающее температурное поле в жидкости, при этом примем, что жидкость однородна и несжимаема.

Температурное поле потока жидкости описывается уравнением

Выделим из движущейся среды элементарный параллелепипед объемом (IV = dxdydz (рис. 8.3). Из окружающей среды путем теплопроводности в элементарный объем за время dx согласно (7.15) поступит теплота

Аналогично изложенному в параграфе 7.4, теплота в количестве SQ, поступившая в параллелепипед объемом dV, должна пойти на повышение энтальпии среды (жидкости или газа) в объеме параллелепипеда. Однако в параграфе 7.4 речь шла о твердом теле, здесь же рассматривается текучая среда, и в связи с этим координаты х, г/, 2, определяющие положение в пространстве рассматриваемого параллелепипеда за время dx, претерпят соответствующее изменение, зависящее от размера и направления скорости в точке с координатами х, у, z.

К выводу уравнения энергии

Рис. 8.3. К выводу уравнения энергии

Таким образом, уравнение температурного поля (8.3) должно быть дополнено группой уравнений:

Приращение температуры жидкости в параллелепипеде объемом dV за время dx, т.е. величина (dt/dx)dx, определяется из (8.3) с учетом (8.4). Полная производная от температуры по времени

В силу зависимостей (8.4) имеем

где wx, wy, wz — проекции вектора скорости w на координатные оси. Таким образом,

Отметим, что производную dt/dx обычно обозначают Dt/dx и называют субстанциональной (индивидуальной по отношению к дифференциалу времени) производной. Частную производную dt/dx называют местным, или локальным, изменением значения величины t, а сумму

[ dt dt dt )

  • —т>. +—w„ +—w, — конвективным изменением.
  • 1 Эу у dz г)

Таким образом, изменение температуры жидкости в параллелепипеде объемом dV за время dx в общем случае вызвано двумя причинами: во-первых, изменением во времени самого температурного ноля в той точке пространства, где находится в данный момент рассматриваемый элементарный параллелепипед объемом (IV (скорость изменения его характеризуется локальной производной);

во-вторых, тем, что элементарный параллелепипед перемещается за время dx в другую точку пространства (скорость изменения температуры характеризуется конвективной производной).

Изменение энтальпии среды в рассматриваемом параллелепипеде за время dx представимо формулой

Приравнивая значение 8Q к значению dl, получим искомое дифференциальное уравнение энергии, описывающее температурное поле в движущейся жидкости:

или

где а = Х/(срр) — температуропроводность.

Формула (8.6) в развернутой форме записывается так:

Для твердого тела (8.6а) переходит в известное уравнение теплопроводности (7.17)

Для одномерной задачи, когда t=f(x, т), выражение (8.6а) значительно упрощается:

и, наконец, в случае стационарного режима

Уравнение (8.6а) показывает, что температурное поле в потоке существенным образом зависит от поля скоростей. В связи с этим при изучении конвективного теплообмена необходимо включать в круг исследуемых вопросов и гидромеханические условия протекания процесса.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >