Подобие физических явлений

Как известно, у геометрически подобных фигур сходственные стороны пропорциональны. Если подобные фигуры одинаково ориентированы в пространстве, то сходственные стороны не только пропорциональны, но и параллельны одна другой.

Отношение линейных размеров любых сходственных сторон двух подобных фигур равно постоянной с, которую принято называть константой подобия. Так, для двух подобных призм (рис. 8.7)

где С/ — константа подобия линейных размеров.

Геометрическое подобие призмы

Рис. 8.7. Геометрическое подобие призмы

Для сходственных площадей поверхностей и объемов подобных фигур получим

Понятие о подобии может быть распространено на любые физические явления.

Условия подобия физических явлений формулируются следующим образом.

  • 1. Понятие подобия в отношении физических явлений применимо только к явлениям одного и того же класса. Принадлежность физических явлений к одному классу означает, что механизм этих явлений описывается одинаковыми по форме и содержанию дифференциальными уравнениями. Так, может идти речь о подобии движения двух потоков жидкости, о подобии теплообмена и т.п.
  • 2. Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно быть геометрическое подобие систем, в которых эти явления протекают.
  • 3. При рассмотрении подобных явлений между собой можно сопоставлять только одноименные физические величины в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени.

Одноименными (или однородными) называются такие физические величины, которые имеют одинаковый физический смысл и одинаковую размерность.

Сходственные точки пространства — такие точки в двух сопоставляемых системах, координаты которых удовлетворяют условию геометрического подобия

Развитие процесса во времени в двух сопоставляемых системах в общем случае неодинаково, но для подобия явлений необходимо, чтобы промежутки времени т' и т", отсчитываемые от общего начала отсчета т0, всегда удовлетворяли равенству т'

Константа сх называется множителем гомохроииости. При ст = 1 получим синхронное протекание явлений. При стационарном режиме требование о временном соответствии исключается.

4. Подобие физических явлений означает как подобие всех одноименных физических величии, характеризующих рассматриваемые явления, так и подобие полей этих величин.

Подобные поля одноименных величин — это поля, различие которых сводится лишь к неодинаковости их масштабов.

В подобных физических явлениях в сходственных точках пространства, для которых соблюдается равенство (8.26), и в сходственные моменты времени, когда промежутки времени т' и т" связаны равенством (8.27) и имеют общее начало отсчета, любая величина и' первого явления пропорциональна одноименной величине и" второго явления:

где си константа подобия величины и.

Пусть уравнение, определяющее исследуемый класс явлений, имеет вид

где uvu2,..., ип переменные физические величины (например, их плотность; и2 температура; ип скорость и т.д.).

Рассмотрим две системы, в каждой из которых происходит явление, принадлежащее одному классу. Для этих явлений можем написать

где штрихом отмечается принадлежность переменной к одной системе, а двумя штрихами — к другой.

Подобие двух физических явлений, описываемых уравнениями (8.29), математически формулируется условиями

Одноименные переменные и' и и" должны удовлетворять равенствам (8.30) в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени во всем объеме пространства, охваченного процессом, т.е. во всех точках поля рассматриваемой переменной.

Каждая переменная имеет свою константу подобия с, отличающуюся по размеру от других. Около каждой константы подобия ставится нижний индекс, который показывает, к какой величине она относится. Константы подобия между собой находятся в определенных соотношениях, их нельзя выбирать произвольно.

Поскольку нами рассматриваются две подобные системы, то можно при наличии условий (8.30) выразить переменные второй системы через переменные первой системы. В этом случае система уравнений (8.29) запишется следующим образом:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >