Теория нечетких множеств: операции над нечеткими множествами, принцип расширения Заде, нечеткие числа, лингвистическая переменная, система нечеткого управления

Многие подходы к представлению и обработке информации для формализации неопределенности используют понятие вероятности. Однако при анализе процессов и явлений, характерных для сферы экономики, подобный подход не всегда обоснован и весьма неоднозначен. Действительно, о вероятности можно говорить в случае, если объекты исследования носят повторяющийся, массовый характер, обладают статистической устойчивостью, в то время как большинство реальных социально-экономических явлений сугубо индивидуальны. Например, очень сложно найти несколько инвестиционных проектов строительства жилой недвижимости или промышленных сооружений, абсолютно идентичных по своим параметрам и результатам реализации, поведение агентов на финансовых рынках обусловлено совокупностью внешних экономических, политических и прочих факторов, точное сочетание которых неповторимо.

В описанной ситуации более уместными могут оказаться интервальные методы, в основе которых лежит представление о неопределенности не как о вероятностной, а как об интервальной. Частным случаем таких методов является использование критерия Гурвица. Дальнейшим развитием интервального подхода являются нечетко-множественные методы анализа, которые основываются на предположении, что существует некоторая дополнительная информация о значениях оцениваемого параметра кроме той, что они заключены в некоторый интервал. Например, эксперты могут выразить мнение, что параметр скорее примет значение, близкое к правой границе интервала, чем к левой. Они могут и некоторым другим образом качественно сформулировать свои предположения относительно возможного поведения параметра[1].

Если не затрагивать дискуссию относительно оригинальности математического аппарата теории нечетких множеств (ТНМ), возможности сведения вероятностных подходов к нечетко-множественным, тонкостей терминологии, то важным преимуществом ТНМ является ее ориентированность на прикладные исследования. ТНМ обладает удобной и понятной эксперту или инженеру по знаниям методологией, также существует большое количество программных продуктов, позволяющих широкому кругу пользователей использовать возможности построения нечетких экспертных систем (НЭС).

Историческая справка

Развитие идей и методов, опирающихся на понятие нечеткости и теорию нечетких множеств, берет начало с публикации статьи профессора Лотфи А. Заде «Fuzzy sets» в 1965 г. Крупнейшими учеными, внесшими значительный вклад в развитие теории нечетких систем, являются также Е. Мамдани, Р. Веллман, А. Кофман.

Формальное определение нечеткого множества имеет вид (18.1). В данном случае пространство, в которое рл отображает X, представляет собой интервал [0, 1]. Если бы это пространство состояло только из двух точек О и 1, то Л было бы точным множеством, откуда следует, что обычное (точное) множество — частный случай нечеткого.

Обратите внимание!

Целью создания и развития нсчстко-множсствснных подходов является желание адаптировать математические модели к реальной жизни, получить возможность органично совмещать потенциал вычислительных методов со спецификой человеческого мышления[2].

Если базовое для нечеткого множества пространство (в данном случае обозначаемое X) непрерывно, то и функция принадлежности непрерывна. Она может иметь различные формальные представления и соответствующие графические интерпретации. Распространены треугольная, трапециевидная, гауссова функции принадлежности благодаря тому, что они позволяют технически просто производить математические операции с нечеткими множествами и в то же время хорошо описывают исследуемые объекты. Например, треугольная функция определяется в виде

Функция принадлежности, заданная формулой (18.3), может являться описанием нечеткого числа, например, на рис. 18.1 представлен возможный график функции принадлежности нечеткого числа «приблизительно 4000».

Важной характеристикой нечеткого множества является понятие носителя (см. параграф 18.1). Применительно к рассмотренному выше нечеткому числу носитель представляет собой отрезок [2000, 8000].

Асимметричная треугольная функция принадлежности нечеткого числа «приблизительно 4000»

Рис. 18.1. Асимметричная треугольная функция принадлежности нечеткого числа «приблизительно 4000»

Над нечеткими множествами определены все операции, характерные для традиционной теории точных множеств, но естественно со своей спецификой, определяемой самой природой нечетких множеств. Кратко основные операции и примеры их выполнения представлены в табл. 18.1.

Таблица 18.1

В качестве примера возьмем два нечетких множества L и М, определенные на множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, как

В данной записи элементы множествах, для которых значения функции принадлежности того или иного множества равны нулю, опускаются, т.е. представленная выше запись нечеткого множества L эквивалентна более подробной записи: L = {0,1/1; 0,6/2; 1/3; 0,6/4; 0,1/5; 0/6; 0/7}1.

Основные операции над нечеткими множествами

Наименование

операции

Содержание операции

Пример

Включение

Нечеткое множество А содержится в Ву если

KiM < ой(*). v-v 6 х

Множества L и М несравнимы

Равенство

Множества А и В равны, если Ц.,0) - йд(-г), V.r е X

L * М

Дополнение

Множество В является дополнительным А, если

цв(*) = 1 - к,(*)- V'r 6 х,

при условии, что 0 < цл(х) < 1, что не умаляет общности

Множество, дополнительное к L, обозначается как L

I = {0,9/1; 0,4/2; 0/3; 0,4/4; 0,9/5; 1/6; 1/7}

Пересечение

Пересечением нечетких множеств Aw В называется нечеткое множество А П В с функцией принадлежности:

М.4ПВ = тт(цл(*), |д„(.г)), V.r е X

I П М = {0,4/3; 0,6/4; 0,1/5}

Объединение

Объединением нечетких множеств Aw В называется нечеткое множество А и В с функцией принадлежности:

H.iub = тах(цл(х), ц„(.г», V.r g X

L U М= {0,1/1; 0,6/2; 1/3; 0,6/4; 1/5; 0,6/6; 0,4/7}

Обратите внимание!

В отличие от классической теории множеств, где все операции определены однозначно и результаты их применения единственны, для нечетких множеств существуют различные альтернативные варианты представления таких операций, как дополнение, пересечение, объединение.

Помимо перечисленных операций над нечеткими множествами могут быть также реализованы такие операции, как симметрическая разность, дизъюнктивная сумма и др.[3] [4]

Так, в формулах для определения операций пересечения и объединения использовались наиболее распространенные операторы min и max соответственно, но они являются лишь частным случаем общего определения этих операций, опирающегося на понятия нечетких операторов.

Определение

Под нечеткими операторами (см. параграф 18.1) понимаются функции, действующие на множестве значений функций принадлежности (на интервале [0,1]) нечетких множеств. Наиболее распространены и интересны нечеткие операторы, относящиеся к классу так называемых треугольных норм и конорм[3] [6].

Использование различных нечетких операторов в качестве основы операций пересечения и объединения нечетких множеств позволяет строить более адекватные и интуитивно понятные модели, отвечающие представлениям о существе анализируемых объектов и процессов.

Обратите внимание!

В теории нечетких множеств важным является введенный Л. Заде принцип расширения или обобщения. Этот принцип носит эвристический характер и позволяет перенести различные математические операции с четких множеств на нечеткие и, в частности, определить стандартные арифметические операции для нечетких чисел и интервалов, которые широко и эффективно используются в моделировании различных экономических задач.

Одно из наиболее обобщенных представлений принципа расширения приведено ниже[3].

Пусть X — декартово произведение четких множеств Х{ -Х2-... -Хп. Если существует некоторое четкое отображение

а также нечеткие множества AVAV ..., Ап, заданные на Xv Xv ..., Хп, то принцип расширения состоит в том, что генерируемое отображением /нечеткое

МНОЖргтпп ^ ммррт гмлп

при ЭТОМ

В случае, если множество X состоит из конечного количества элементов, то операция sup(®) в формуле (18.6) заменяется на тах(#). Тем не менее необходимо отметить, что указанный выше принцип расширения представляет собой классический вариант, сформулированный Л. Заде, так как использование операций sup(®) и min(®) в формуле (18.6) — частный случай, и они могут быть заменены произвольными Г-нормами и Г-конормами соответственно.

Пример использования принципа расширения для реализации арифметических операций над нечеткими множествами.

Пусть имеется следующая неточная информация об инвестиционностроительном проекте (ИСП), которая изложена в терминах ТНМ:

  • • себестоимость строительства 1 м2 площади «приблизительно ИООу.е.»;
  • • цена реализации 1 м2 «около 1600 у.е.».

Необходимо определить эффективность реализации ИСП в виде нечеткого числа, которая определяется как

Эффективность = (цена реализации — себестоимость)/себестоимость.

На рис. 18.2. приведено графическое представление нечетких чисел, характеризующих следующие показатели — себестоимость строительства 1 м2 площади, цена реализации 1 м2.

Функции принадлежности нечетких параметров ИСП

Рис. 18.2. Функции принадлежности нечетких параметров ИСП:

--приблизительно 1100 у.е.; — около 1600 у.е.

Результат вычисления эффективности реализации ИСП в нечеткой форме представим графически, для чего воспользуемся возможностями программной среды MATLAB и, в частности, встроенной функцией «fuzarith», позволяющей выполнять операции нечеткой арифметики (рис. 18.3).

Обратите внимание!

Важно заметить, что частное двух нечетких чисел треугольной формы уже не имеет треугольной формы, что видно на рис. 18.3: нечеткое число, соответствующее «эффективности реализации ИСП», имеет выпуклую левую сторону и вогнутую переднюю; с увеличением ширины основания треугольной функции принадлежности делителя нелинейность усиливается.

Функция принадлежности нечеткого значения «эффективность реализации ИСП»

Рис. 18.3. Функция принадлежности нечеткого значения «эффективность реализации ИСП»

Существуют другие подходы к определению арифметических операций с нечеткими числами — менее трудоемкие с точки зрения их реализации вручную, но обладающие меньшей универсальностью и связанные с некоторой потерей информативности: использование так называемых L-R чисел, имеющих частную специальную форму, и применение метода, основанного на «а-уровневом принципе обобщения»[8] [9].

  • [1] Недосекин А. О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций. СПб.,2002. 181 с.
  • [2] Ботвин Г. А., Забоев М. В., Завьялов О. В., Черныш В. В. Модели и методы экспресс-ана-лиза инвестиционных проектов. СПб. : Изд-во Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, 2009. 272 с.
  • [3] Ботвин Г. А., Забоев М. В., Завьялов О. В., Черныш В. В. Указ. соч.
  • [4] Более детально можно ознакомиться в кн.: Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л.Указ. соч.
  • [5] Ботвин Г. А., Забоев М. В., Завьялов О. В., Черныш В. В. Указ. соч.
  • [6] Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Указ. соч.
  • [7] Ботвин Г. А., Забоев М. В., Завьялов О. В., Черныш В. В. Указ. соч.
  • [8] Более подробно с указанными подходами можно ознакомиться в кн.: Алтунин А. Е., Се-мухин М. В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень : Изд-воТюменского гос. ун-та, 2000. 352 с.
  • [9] Леоненков А. В. Указ. соч.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >