Некоторые сведения из дифференциальной геометрии

При дальнейшем рассмотрении вопросов линеаризации обратной связью потребуются следующие понятия: производные и скобки Ли, диффеоморфизмы, инвалютивность, интегрируемость системы линейно независимых векторов. В этом параграфе будут рассмотрены необходимые сведения, связанные с этими и некоторыми другими понятиями.

Производные и скобки Ли.

Пусть а(х) гладкая скалярная функция векторного переменного (q: Rn —> R) и f(x) — гладкая векторная функция (f: Rn —> Rn).

Ниже используется оператор V = (... тг"-У Он равно-

ОХ 1 ОХ2 ОХп /

силен оператору — — оператору дифференцирования по векторному

аргументу. При применении этого оператора к скалярной функции а = а(х) получим вектор-строку

А при применении этого оператора к векторной функции f = f(x) получим матриц

Определение 6.1. Производной Ли скалярной функции а = = а(х) по векторной функции f = f(x) называется скалярная функция (обозначается Ь/а), определяемая соотношением

Старшие производные Ли рекурсивно определяются следующим образом:

Нулевая производная Ли функции а = <*(х) по f = f(x) есть сама функция а = а(х): а = а.

Высшие производные по другой векторной функции g(x) определяется аналогично:

Пусть система задана уравнениями

Первая и высшие производные по времени выходной переменной у равны соответственно первой и высшим производным Ли функции а(х) по функции /(х):

Точно так же, если задана скалярная функция К(х), то ее производная в силу уравнения системы х = f(x) будет равна производной Ли этой функции по f(x):

Пусть f(x) и g(x) — две гладкие векторные функции: f: Rn —> -+ Rn, g: Rn -> Rn. Производная Ли от векторной функции g(x) по векторной функции f(x) является векторной функцией и определяется аналогично производной Ли от скалярной функции:

Скобки Ли функций f(x) и g(x), к определению которых сейчас переходим, обозначают [f,g] или ad/g (второе обозначение особенно удобно при записи скобок Ли второго и более высоких порядков).

Определение 6.2. Векторная функция, определяемая соотношением

называется скобками Ли функций f(x) и g(x). Скобки Ли высокого порядка рекуосивно опоелеляются следующим обцазом:

Скобки Ли нулевого порядка функций f(x) и g(x) равны g(x): ac^g = g-

Пример 6.3. Пусть функции f(x) и к(х) имеют вид

Определить скобки Ли первого и второго порядков этих функций. Решение. Производные функций f(x) и g(x) по х равны

Поэтому скобка Ли первого порядка имеет вид

Лемма 6.1. Пусть f(x), fi(x), Гг(х), g(x), gi(x), g2(x) — гладкие векторные функции, a(x) — гладкая скалярная функция, оц, 0с2 — скалярные постоянные.

Скобки Ли обладают следующими свойствами:

1) билинейность —

  • 2) асимметрическая коммутативность —
  • 3) тождество Якоби

Доказательство. Свойства 1), 2) легко получаются непосредственно из определения скобок Ли. Остановимся на доказательстве тождества Якоби. Исходя из определения производной и скобок Ли левую часть тождества (обозначим ее L) можно представить в виде

Правую часть (обозначим ее Р), основываясь на определении производной Ли, можно записать в виде

По правилу дифференцирования скалярного произведения по векторному аргументу дальше получаем (см. § 1.9, п. 3°)

Так как слагаемые являются скалярными выражениями, а матрица d (daT

— — является симметрической, имеем dxdxJ

Таким образом, в выражении для Р второе и четвертое слагаемые равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Поэтому их можно сократить. После сокращения, получим

Сравнивая выражения для L и Р, убеждаемся, что они равны.

Лемма 6.2. Пусть f(x), g(x) (х ? Rn) — гладкие векторные функции (f, g ? Rn), а(х) — гладкая скалярная функция. Тогда если

то

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции по j. При j = 0 формула (6.3) принимает вид

и она справедлива в силу (6.2). Допустим теперь, что формула (6.3) справедлива при j = I:

Покажем, что она справедлива при j = I + 1.

Из тождества Якоби (см. лемму 6.1) имеем

Заменив (3 на adlf g и Л на LJq(x), получим

В силу (6.4) первое слагаемое для любого к, удовлетворяющего условию 0^1 + к^т - 1, равно нулю, а второе слагаемое принимает вид

Лемма доказана.

178

Следствие. Пусть f(x), g(x) (х е Я") — гладкие векторные функции (f, g € #n), T’i(x) — гладкая скалярная функция и

Тогда если то

Это следствие получается из леммы 6.2, если принять a(x) = Ti(x), к = 0 и т = п — 1.

Лемма 6.3. Пусть f(x), g(x) (х € Rn) — гладкие векторные функции (f, g € Я”), a(x) — гладкая скалярная функция. Тогда если

Доказательство. При к = 0 равенство (6.5) принимает вид Lga = О и совпадает с (6.6). При к = 1, используя тождество Якоби, из (6.5) находим

Первое слагаемое равно нулю, так как в силу (6.5) Lga = 0. Поэтому получаем

При к = 2 равенство (6.5), используя тождество Якоби, можно записать в виде

Первое слагаемое обращается в нуль, так как в силу (6.5) Ladfg(* = 0. Второе слагаемое с учетом тождества Якоби преобразуется следующим образом:

Продолжая эту процедуру при к = 3,4,... ,то получим (6.6).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >