Теорема Фробениуса.

Теорема Фробениуса устанавливает связь между инвалютивностью и интегрируемостью системы линейно независимых векторов. Поэтому прежде всего познакомимся с этими понятиями.

Определение 6.4. Множество линейно независимых векторных функций {fi(x), f2(x),..., fr(x)} называется инвалютивным, если скобки Ли любых двух функций fj(x) и fj (х) из этого множества (не обязательно разных) равны линейной комбинации функций из этого множества, т. е. существуют функции (k = 1,2,..., г) такие, что

Множество линейно независимых постоянных векторов всегда ин- валютивно. Действительно, скобки Ли двух постоянных векторов являются нулевыми и тривиально представляются комбинациями исходных векторов.

Множество, состоящее из одного вектора, является инвалютив- ным. так как скобки Ли двух одинаковых функций равны нулю:

Определение 6.5. Множество г (г < п) линейно независимых n-мерных векторных функций {fj (х), f2(x),..., fr(x)} называется интегрируемым, если существуют п — г независимых скалярных функций c*i(x), а2(х),... ,ап_г(х), удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений

Скалярные функции ai(x),ar2(x),• • .,^n-rW независимы в некоторой области D (т. е. при х € D), если векторы Va<(x) (г = 1,2,... ..., п — г) линейно независимы в этой области. Заметим, что при г = = п — 1 независимость одного единственного вектора Vai (х) означает неравенство этого вектора нулю: Vai(x) ф 0.

Теорема 6.2 (Frobenius [68]). Множество г (г < п) линейно независимых п-мерных векторных функций {fi(x),f2(x),.. ,,fr(x)} интегрируемо в том и только том случае, когда оно инвалютивно.

Пр и мер 6.5. Задана система дифференциальных уравнений

где a = a(xi,x2,х$) — неизвестная функция. Требуется определить разрешимость это системы уравнений.

Решение. Эту систему уравнений можно записать в виде

где

Чтобы ответить на вопрос, имеет ли данная система уравнений решение, согласно теореме Фробениуса достаточно проверить ин- валютивность множества {fi,f2}. Скобки Ли двух функций этого множества имеют вид

Как легко проверить, скобки Ли каждой пары функций из множества {fj, f*2} могут быть представлены как линейные комбинации функций этого множества следующим образом:

Таким образом, множество {fi, Г2} инвалютивно и, следовательно, по теореме Фробениуса рассматриваемая система интегрируема.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >