Линеаризация обратной связью по состоянию

Рассмотрим нелинейную систему

где f(x), g(x) — гладкие векторные функции. Начало координат при нулевом управлении является положением равновесия: f(0) = 0. Уравнение вида

если существует обратное преобразование ги-1, можно подстановкой v = w(u + у?(х)) привести к виду (6.7а).

Определение 6.6. Система (6.7а) называется линеаризуемой обратной связью по состоянию, если существуют диффеоморфизм z = Т(х) и преобразование обратной связью

такие, что уравнение (6.7а) принимает вид

где

Линеаризованная система имеет специальный вид (см. (6.7в)) — форму управления Бруновского (Brunovsky controller form) [68]. Однако это не нарушает общности, так как любая вполне управляемая линейная стационарная система может быть преобразована к такому виду.

Составим для системы (6.7а) матрицу

В случае линейной стационарной системы, когда

где Л и b — постоянные (п х п)- и (n х 1)-матрицы, для скобок Ли имеои

Матрица (6.8) принимает вид

Если отбросить перед четными столбцами матрицы У знаки минус, которые не влияют на ее ранг, то получим матрицу управляемости для пары (Л,Ь). Поэтому матрицу (6.8) также называют матрицей управляемости для системы (6.7а).

Теорема 6.3 (о линеаризации обратной связью по состоянию). Нелинейная система (6.7а) линеаризуема обратной связью по состоянию в некоторой окрестности Q начала координат в том и только том случае, когда в этой окрестности ее матрица управляемости имеет ранг тг, т. е. det Уф 0 всюду на Q (в начале координат det У может обратиться в нуль) и множество {g adfg ... а(Г}~2g},

составленное из п - 1 столбцов матрицы управляемости У, инва- лютивно.

Доказательство. Необходимость. Допустим, что существуют преобразования состояния z = Т(х) и управления и = а(х) + f3(x)v такие, что переменные zwv удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений в форме Бруновского

Подставляя сюда г» = Т»(х), получим

Так как функции 7i, Та,..., Тп не зависят от управления и, из этой системы уравнений следует

и соответственно из первых п - 1 уравнения получаем

Используя производные Ли, полученные соотношения можно записать в виде

Отсюда в силу следствия леммы 6.2 имеем

Из этих соотношений можно сделать вывод о том, что система векторов {g, adfg, ..., ad^~xg} линейно независима и инвалютивна. Инвалю- тивность следует из того, что существует скалярная функция Xi(x), удовлетворяющая п - 1 уравнениям в частных производных (6.9). Независимость этих векторов можно показать, допустив противное. Действительно, предположим, что эти векторы линейно зависимы. В этом случае скобки Ли более высокого порядка выражаются через скобки Ли более низкого порядка, и для некоторого числа i (г ^ л — 1) существуют скалярные функции с*о(х), с*1 (х),... ,a,_i(x) такие, что справедливо равенство

Используя это равенство, вычислим скобки Ли adj’1 g:

Продолжая эту процедуру вычисления скобок Ли до (п — 1)-го порядка, получим

где I = п — г — 1 (i — 1 + / = n — 2). Умножив обе части этого равенства слева на VTi и учитывая (6.9), получим равенство

которое противоречит (6.10).

Достаточность. Так как система векторов {g, adfg, ..., а(Г}~1 g} инвалютивна, существует скалярная функция Т = 7i(x), удовлетворяющая системе уравнений

Отсюда в силу леммы 6.3 имеем

В качестве искомого преобразования состояния примем

где Т —• решение системы (6.11). Тогда, учитывая (6.12), получим

Таким образом, при преобразовании (6.13) система (6.7а) принимает

вид

Покажем, что LgL"_17 ф 0. Допустим противное: Ьд1/}~1Т = 0. Тогда в силу (6.11) и леммы 6.3 имеем

Объединяя это равенство с (6.11), получим

или VTi У = 0.

Так как det Уф 0, то данная система имеет только нулевое решение VTi = 0. Но в силу теоремы Фробениуса инвалютивное множество векторов {g adfg ... adnj~lg} интегрируемо. Поэтому система уравнений (6.11) имеет решение 7i, причем VTi линейно независимо, т. е. V7i ф 0. Полученное противоречие доказывает, что LgL*~lT ф 0.

Воспользовавшись преобразованием управления

получим in = v. Таким образом, искомое преобразование найдено: исходное нелинейное уравнение преобразовано в систему линейных уравнений в форме Бруновского. Достаточность доказана.

Доказательство достаточности является конструктивным, и на его основе можно сформулировать правило линеаризации обратной связью (ЛОС) по состоянию:

  • 1) для заданной системы определить матрицу управляемости У = = {g arf/g ... adnf~2g};
  • 2) вычислить det У, и если det Уф 0 проверить инвалютивность множества векторов, составленного из первых п- 1 столбцов матрицы управляемости, т.е. множества {g ad/g ... ady-2g};
  • 3) если множество {g adf g ... ad^~2g} инвалютивно, то определить функцию Т(х) из соотношений

4) определить преобразование состояния

Пример 6.6. Задана система

Требуется произвести линеаризацию обратной связью по состоянию.

Решение. В данном случае п = 3 и функции f(x) и g(x) имеют

вид

1) Найдем матрицу управляемости У = (g adf g adjg):

  • 2) Детерминант матрицы управляемости отличен от нуля: det У = = 1. Первые два столбца матрицы управляемости являются постоянными и поэтому образуют инвалютивное множество.
  • 3) Соотношения (6.14) принимают вид

Отсюда следует, что Т зависит только от тз, и в качестве решения этих соотношений примем Т = хз.

4) Найдем остальные два компонента преобразования состояния Т2 и Тз

Подставив эти выражения в (6.15), получим В новых переменных уравнения системы примут вид

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >