Линеаризация обратной связью по выходу

Пусть система описывается уравнениями

Рассмотрим задачу слежения за траекторией уж(^)? которая состоит в определении такого закона управления, при котором ошибка слежения е(?) = y(t) — уж(0 со временем стремится к нулю: e(t) -э О при t -> оо, а остальные переменные ограничены.

Трудность решения данной задачи заключается в том, переменная у не связана с управлением и. Однако может оказаться, что она будет легко разрешимой, если путем преобразования исходной системы удастся получить прямую и простую зависимость между выходом у и входом (управлением) и.

Определение 6.7. Линеаризацией обратной связью по выходу называется такое преобразование нелинейной системы (6.16), включающее преобразование обратной связью, при котором в преобразованной системе связь между выходом у и входом и получается линейной.

Пример 6.7. Система описывается уравнениями

Требуется определить алгоритм управления, обеспечивающий слежение за траекторией уж(?) (остальные переменные ограничены).

Решение. Продифференцируем у столько раз, сколько потребуется для получения прямой зависимости между выходом и входом:

Из последнего соотношения на основе преобразования

получим У = v. Точка х — -1 для этого преобразования является особой: оно в этой точке не определено.

Для определения требуемого закона управления воспользуемся методом обратной задачи динамики. Если потребовать, чтобы ошибка слежения е = у — уж изменялась в соответствии с уравнением

и подставив в преобразованное уравнение для выхода, получаем

то, найдя отсюда

Подставив это выражение в преобразование для управления, находим искомый закон управления

или, после подстановки выражений для выходной переменной и ее ппоизволных.

В данном примере число дифференцирований для получения явной зависимости между выходом и входом равно порядку системы. Возникают дополнительные проблемы, когда это число меньше порядка системы.

Рассмотрим пример.

Пример 6.8. Пусть система описывается уравнениями

Требуется определить алгоритм управления, обеспечивающий слежение за траекторией уж(0 (остальные переменные ограничены).

Решение. Продифференцируем у столько раз, сколько потребуется для получения прямой зависимости между выходом и входом:

Как в предыдущем примере, воспользуемся методом обратной задачи динамики. Задав желаемый закон изменения ошибки е = = У - Уж в виде

получим

Пплгтяпнп ?атл пкгпяжримр r ппрлЯпялпвяНИР ЛТТСТ УППЯВ1ТРНИЯ nnnV4UM

При таком управлении ошибка слежения описывается уравнением (6.17). В силу устойчивости этого уравнения ошибка e(t) —> О при t —* оо. Однако пока нельзя делать вывод о том, что полученный алгоритм управления решает поставленную задачу. Это связано со следующим обстоятельством.

Порядок синтезированной системы совпадает с порядком исходной системы и равен 3, так как найденный алгоритм управления не вносит дополнительный порядок. В то же время уравнение ошибки (6.17) имеет порядок 2 и описывает часть динамики. Для получения полного описания синтезированной системы необходимо к уравнению (6.17) добавить еще одно уравнение первого порядка, которое описывает так называемую внутреннюю (скрытую) динамику.

Полученный алгоритм управления применим, если внутренняя динамика устойчива. В противном случае координата, характеризующая внутреннюю динамику, и управление могут принимать недопустимо большие значения, что может сопровождаться перегревом двигателей или возникновением сильных вибраций механической части [69].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >