РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

В результате изучения данной главы студенты должны: знать: особенности расчета нелинейных электрических цепей; уметь: проводить гармоническую линеаризацию нелинейных характеристик;

владеть: методами анализа нелинейных цепей.

Описание нелинейных цепей и особенности их расчета

Все реальные элементы электротехнических устройств в той или иной степени проявляют нелинейные свойства. В общем случае характеристики нелинейных элементов описывают соотношениями вида

При расчете электрических устройств практически невозможно учесть нелинейности всех элементов, и в большинстве применений этого и не требуется. Поэтому на основе априорных сведений о свойствах электрической цепи и оценочных расчетов выделяют один или несколько элементов, которые определяют принципы функционирования устройства. Оставшуюся часть устройства представляют эквивалентной линейной схемой. При этом, как правило, модель нелинейного элемент сводят к соединению одного резистивного и(г), индуктивного Ф(г) или емкостного q{u) нелинейного компонента и линейной подсхемы.

Полученную подобным способом эквивалентную электрическую схему устройства описывают системой нелинейных дифференциальных уравнений. Как известно, при решении таких уравнений неприменим принцип суперпозиции, т.е. нельзя результат нескольких воздействий получить посредством суммирования результатов от каждой реакции в отдельности. Поэтому невозможно выполнить расчет в частотной области с использованием представления воздействий в форме ряда Фурье.

Вследствие отмеченных особенностей отсутствуют единые аналитические методы расчета нелинейных устройств. Фактически имеется несколько распространенных способов расчета отдельных групп нелинейных электрических цепей.

Одной из типичных задач исследования электротехнических устройств является определение токов и напряжений в установившихся режимах при воздействиях определенного вида: постоянных, синусоидальных и их совокупности. При этом вид решения зависит от структуры принятой модели, а также способа описания и аппроксимации характеристики нелинейного элемента.

Исходные сведения для построения модели элементов содержатся в том или ином описании физических явлений, заложенных в основу ее функционирования. Так, для полупроводникового диода на основе /?-я-перехода общепринятой можно считать модель, описываемую соотношением

где Is — обратный ток перехода; г' — сопротивление объема полупроводника; фу — тепловой потенциал, определяемый отношением постоянной Больцмана к заряду электрона и зависящий от температуры (ф₇-~ 0,025 В при комнатной температуре).

Вместе с тем в широком диапазоне изменения переменных ее использование сопряжено с математическими трудностями. Поставим задачу определения тока / при подключении диода к источнику постоянного напряжения Vс внутренним сопротивлением R (рис. 4.1, а).

Уравнение схемы запишем в форме равенства напряжений линейного и нелинейного двухполюсников:

V - RI= и(Г).

Для упрощения преобразований предположим, что напряжение источника и > 4фу. Тогда при показанной полярности источника

Рис. 4.1. Резистивная цепь (я), характеристика диода (б), эквивалентная схема (в)

и > 0 на рабочем участке для характеристики диода можно использовать соотношение I ~ 1$е*“^{-г /)/<р,/}', из которого получим и-г'1 = = (p_rln(///5). Уравнение цепи приобретает вид

В замкнутой форме записать аналитическое решение полученного уравнения невозможно. Поэтому при вычислении тока приходится использовать дальнейшие упрощения. Для приведенной простейшей схемы можно, например, применить метод графического построения характеристики, описывающей линейную часть схемы, и на ее пересечении с характеристикой диода получить искомое решение (рис. 4.1, б). Для оценочных расчетов часто используют простую аппроксимацию характеристик нелинейных элементов. Так, распространено описание характеристик отрезками прямых линий. Для диода часто применяют аппроксимацию двумя отрезками: при и < U*, которое для кремниевых диодов лежит в пределах 0,5—0,7 В, принимается / * 0, а при и> U* характеристика заменяется прямой линией с наклоном du/di ~ r,i = <р_г//. Этому соответствует линейная эквивалентная схема диода на рабочем участке (рис. 4.1, в), с помощью которой несложно вычислить ток:

Если наряду с постоянной составляющей напряжения источник содержит переменную (например, синусоидальную) составляющую

то расчет усложняется. Для исследования влияния на ток различных факторов рассмотрим аппроксимацию нелинейного элемента зависимостью г = а и², а также положим R = 0. Тогда для тока получим выражение

В результате нелинейного характера зависимости i(u) в кривой тока образовалась новая составляющая на удвоенной частоте. Кроме того, проявилось влияние амплитуды синусоидального сигнала на постоянную составляющую тока.

В общем случае можно показать, что спектральный состав тока получается значительно сложнее спектра входного напряжения. Так, при единственной гармонике напряжения V(t) = V^sincojr и аппроксимации нелинейной характеристики кубичным полиномом i = аи - btr форму тока описывает выражение

содержащее составляющие основной и утроенной частоты, амплитуды которых характеризуются нелинейными зависимостями от амплитуды воздействия. Несложно показать, что вычисляемый спектральный состав тока зависит от сложности аппроксимирующего полинома.

Таким образом, одной из проблем анализа процессов в электрических цепях является построение моделей нелинейных элементов. При аналитических преобразованиях уравнений цепей необходимо выполнить аппроксимацию характеристик элементов, которая может дать аналитическое решение с приемлемой погрешностью, зависящей от вида нелинейности и размера рабочего участка. Для аппроксимации рабочего участка характеристики часто используют полиномы, содержащие разные функции (степенные, экспоненциальные, трансцендентные).

Эффективным способом представления сложных зависимостей служит аппроксимация кривых на отдельных интервалах сплайнами, каждый из которых задается многочленом невысокой степени. Например, кубичный сплайн описывает зависимость на k-м участке полиномом третьей степени ц = а* + fau + xiM¹ + щг? с коэффициентами а, р, Л> определяемыми из условий аппроксимации. Наиболее простой представляется кусочно-линейная аппроксимация, при которой отдельные участки нелинейной характеристики заменяют отрезками прямых, образующими ломаную линию. В пределах каждого участка нелинейная цепь может быть представлена линейной эквивалентной схемой, для анализа которой применимы методы расчета линейных устройств. При анализе реальных устройств приходится использовать совокупность моделей для проверки адекватности и оценки погрешности решения.