ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И КАСКАДНЫЕ ?-//-СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ПРОВОДНИКОВ В УСТАНОВКАХ ЭЛЕКТРОНАГРЕВА

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ (ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ЗАКОНЫ, УРАВНЕНИЯ, ТЕОРЕМЫ)

Уравнения классической электродинамики (уравнения Максвелла, Гельмгольца)

В основе теории и методов расчета электромагнитного поля лежат фундаментальные уравнения, сформулированные Дж. Максвеллом в 1873 г.[1] Эти уравнения являются универсальными и всеобъемлющими, так как в них обобщены и математически строго описаны все известные к настоящему времени физические проявления электричества и магнетизма, а также взаимно обуславливающие друг друга электромагнитные процессы и волны, включая свет.

В системе уравнений классической электродинамики базовыми являются два уравнения Максвелла.

Первое уравнение Максвелла фактически обобщает закон полного тока, который в современном представлении в дифференциальной и интегральной формах записи имеет вид

где Н — вектор магнитной напряженности; inp,Snp — ток и вектор плотности тока проводимости; inep, 5пер — ток и вектор плотности тока переноса; г'ст, 8СТ — сторонние ток и вектор плотности тока; гсм, 8СМ — ток и вектор плотности тока смещения.

Из этого уравнения следует, что источниками магнитных полей Я являются электрические токи, которые могут иметь различную физическую природу.

Из первого уравнения Максвелла вытекает следствие, которое носит название принципа непрерывности электрического тока. По правилам векторной алгебры дивергенция от ротора любой векторной величины дает тождественный нуль. Поэтому из уравнения (1.1) имеем:

или в интегральной форме:

т.е. поток вектора плотности тока через любую замкнутую поверхность тождественно равен нулю.

Поскольку поток вектора плотности тока через замкнутую поверхность есть алгебраическая сумма токов, пронизывающих эту поверхность, выражение (1.4) представляет собой известный из теории цепей первый закон Кирхгофа. Этот закон утверждает, что алгебраическая сумма токов через любую замкнутую поверхность равна нулю:

Сторонние токи в уравнении (1.1) обусловлены электродвижущими силами (ЭДС) и напряженностями ?ст неэлектрического происхождения.

где у — удельная электрическая проводимость среды.

При этом j>ECTdl есть ЭДС замкнутого контура.

При решении задач теории поля сторонние напряженности и плотности тока являются источниками поля и представляются в виде известных математических функций координат и времени.

Понятие о токах смещения в диэлектриках и других непроводящих средах, включая вакуум, было введено Максвеллом в виде

где Е — вектор электрической напряженности; D — вектор электрического смещения; е — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды; t — время.

Отметим, что в электрических цепях токи в ветвях с конденсаторами своим существованием обязаны именно максвелловским токам смещения. Рассмотрим ветвь, содержащую конденсатор, и для обозначенной на рис. 1.1 замкнутой поверхности, рассекающей проводник (Snp) и диэлектрик между обкладками конденсатора (5ДИЭЛ), составим уравнение (1.4) или (1.5):

Рис 1.1

Емкость плоского конденсатора равна:

где S — площадь обкладки; d — расстояние между обкладками. Напряжение на обкладках:

поэтому (1.8) принимает следующий вид:

Следовательно, токи проводимости и смещения, имея различную физическую природу, оказываются равными по вели- дЕ п

чине, и если — = 0, то =tnp =0, т.е. постоянный ток в ветви 8t

с конденсатором существовать не может.

Второе уравнение Максвелла обобщает закон электромагнитной индукции, открытый М. Фарадеем в 1831 г. Этот закон утверждает, что при всяком изменении магнитного потока, сцепленного с замкнутым контуром, в контуре наводится ЭДС, равная скорости изменения магнитного потока и направленная так, чтобы воспрепятствовать этому изменению:

Здесь условно положительные направления ЭДС и магнитного потока образуют правоходовую систему.

Фарадей проводил опыты с реальными контурами, выполненными, в частности, в виде катушек из изолированного провода. Катушки располагались в средах с различными физическими свойствами, и эти свойства проводников и сред никак не проявлялись в конечных результатах эксперимента, определяющих сущность самого закона.

При выводе второго уравнения Максвелл абстрагировал понятие «замкнутый контур», допустив, что для любого обобщенного замкнутого контура, расположенного целиком, либо отдельными частями, в средах с различными физическими свойствами, циркуляция вектора электрической напряженности по этому контуру равна скорости изменения магнитного потока, сцепленного с этим контуром:

Если далее учесть, что Ф = J BdS, и в соответствии с теоремой Стокса s

где S — поверхность, опирающаяся на замкнутый контур I, то при независимости пространственных координат и времени, получим

Выражение (1.15) представляет собой второе уравнение Максвелла. Из этого уравнения, в частности, следует, что при изменении во времени магнитного поля В неизбежно возникает электрическое поле Е.

Следствием второго уравнения Максвелла является принцип непрерывности магнитного потока:

или в интегральной форме

В теории цепей этот принцип известен как первый закон Кирхгофа для магнитных цепей. Этот закон утверждает, что алгебраическая сумма магнитных потоков через любую замкнутую поверхность равна нулю:

Таким образом, можно констатировать, что электрические токи и магнитные потоки обладают свойством непрерывности. Это фактически означает, что линии вектора плотности тока (линии тока) и линии вектора магнитной индукции (силовые линии) и, следовательно, трубки равного магнитного потока, не имеют ни начал, ни концов и всегда замкнуты сами на себя.

Уравнения Максвелла в случае линейных однородных и изотропных сред и при отсутствии сторонних источников имеют вид

и их совместное решение приводит к волновым уравнениям, аналогичным для векторов магнитной (Я) и электрической (?) напряженности:

Если переменное электромагнитное поле синусоидально и круговая частота постоянна и равна со, уравнения (1.21) и (1.22) можно представить в комплексной форме:

При этом волновые уравнения (1.21) и (1.22) обращаются в уравнения Гельмгольца:

Коэффициент

в уравнениях (1.25) и (1.26) носит называние коэффициент распространения электромагнитной волны; (3 — коэффициент затухания; а — коэффициент фазы.

Частными решениями этих уравнений являются плоские электромагнитные волны.

Рассмотрим простейший случай, когда вектор электрической напряженности Е имеет лишь х-составляющую Ёх, будем также считать, что эта составляющая Ёх является функцией одной переменной z: Ёх = /(z).

Из (1.28) следует, что вектор магнитной напряженности имеет лишь одну ^-составляющую Ну, которая также является функцией одной переменной z, а уравнение Гельмгольца (1.26) при принятых допущениях имеет вид

Решением этого однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейная комбинация двух экспоненциальных функций:

Пусть комплексному числу C2e~pz соответствует функция E2(cot,z). Если С2 =E2mej'v, а р = [) +ja, то

Выражение (1.31) описывает бегущую затухающую синусоидальную волну электрической напряженности.

Бегущая волна характеризуется двумя параметрами: фазовой скоростью и длиной волны. Фазовая скорость V,ф — это скорость, двигаясь с которой, наблюдатель фиксирует постоянство фазы колебания. Фаза колебания — это аргумент синусоидальной функции в (1.31). Это значит, что для определения фазовой скорости можно воспользоваться уравнением

из которого следует:

Поскольку длина волны X = z2-z1 — это расстояние, на котором фаза колебания изменяется на 2п, то из соответствующего равенства: следует также, что

Рассмотрим распространение электромагнитной волны в вакууме. В соответствии с (1.27) коэффициент распространения при у = 0; р = |Д0; е = е0 равен:

Таким образом, коэффициент затухания в вакууме равен нулю, а коэффициент фазы равен

Подставив (1.37) в (1.33), вычислим фазовую скорость:

В вакууме плоские электромагнитные волны независимо от частоты распространяются без затухания со скоростью света. Для проводящей среды (1.27) принимает вид

Таким образом, коэффициент затухания в проводящей среде равен

В инженерной практике проникновение плоской волны в проводящую среду характеризуют глубиной проникновения электромагнитной волны — расстоянием, на котором амплитуда волны уменьшается в е раз.

Из определения глубины проникновения очевидно, что это величина, обратная коэффициенту затухания:

Подставляя в (1.41) оо=2л/; р = ц,.р0; у = —, перепишем выра-

Р

жение для глубины проникновения в виде

где р — удельное электрическое сопротивление, Ом-м; / — частота тока, Гц; д,г — относительная магнитная проницаемость среды.

  • [1] Теоретические основы электротехники. В 3 т. : учеб, пособие для вузов /Л. Р. Нейман [и др.]. 4-е изд. СПб. : Питер, 2003.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >