Интегрирование путем замены переменной

Изложим один из сильнейших приемов для интегрирования функций — метод замены переменной, или метод подстановки, в применении к определенным интегралам. Рассмотрим две теоремы.

Теорема 3.2 (внесение функции t' под знак дифференциала).

ь

Пусть дан определенный интеграл jf(x)dx, в котором подынтеграль-

а

ное выражение f{x)dx представимо в виде g(t(x))t'(x)dx, где:

  • 1) t = t(x)непрерывно дифференцируемая на отрезке [а, Ь] функция и [с, d] — множество ее значений на [а, Ь];
  • 2) функция g(t) непрерывна на отрезке [с, d

Тогда справедлива следующая формула перехода от переменной интегрирования х к новой переменной интегрирования t:

Доказательство. Пусть функция G является первообразной для функции g на отрезке [с, d] (она существует в силу того, что функция g непрерывна на этом отрезке). Тогда

С другой стороны, по правилу дифференцирования сложной функции (G(t(x)))' = g(t(x)) t'(x) для любого хе [а, Ь]. Значит, функция G(t) является первообразной для g{t)-t' на [а,Ь], и по формуле Ньютона — Лейбница получаем

Теорема доказана.

Замечание 3.2. К новой переменной интегрирования t переходят в тех случаях, когда получаемая в результате новая подынтегральная функция g удобнее для интегрирования по сравнению с исходной подынтегральной функцией/. Основная сложность этого метода состоит в том, чтобы «увидеть» в исходном подынтегральном выражении f(x)dx более простое для интегрирования выражение g(t(x))t'(x)dx = g(t)dt. Практически реализация метода заключается во внесении функции t' под знак дифференциала dx с образованием нового дифференциала dt.

Замечание 3.3. Обращаем внимание на то, что в этом утверждении не предполагается монотонности функции t. Более того, не предполагается, что множество значений [с, d] функции t = t(x) совпадает с отрезком E = [min(t(a); t(b));max(t(a); t(b))] с [с, d]) (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Пример 3.15

2

Вычислить интеграл J х(3х4 - 2 + l)dx. -1

Решение. С одной стороны,

Теперь вычислим данный интеграл методом замены переменной:

Применение теоремы 3.2 было правомерно, поскольку:

1) функция t(x) = х3 - х непрерывно дифференцируема на отрезке [-1,2], причем множеством значений этой функции на [-1, 2] является отрезок

[-2/(зТз),б]; г и Г> П

2) фyнкцияg(t) = t непрерывна на отрезке!-2/l3v3),61).

Теорема 3.3 (использование подстановки х = x(t)). Пусть выполнены следующие условия:

  • 1) x = x(t)непрерывно дифференцируемая на отрезке [t0,Т] функция, и отрезок [с, d] — множество ее значений на [t0,T];
  • 2) функция f непрерывна на отрезке [с, d];
  • 3) x(t0) = a, x(T) = b.

Тогда справедлива следующая формула перехода от переменной интегрирования х к новой переменной t:

Доказательство. Пусть F — первообразная для функции/на отрезке [с, dj. Тогда функция F(х) является первообразной для f(x)x' на отрезке [t0,T], В самом деле, F'(x) = f(x)x' по правилу дифференцирования сложной функции. Значит, согласно формуле Ньютона — Лейбница что и требовалось доказать.

Замечание 3.4. В этом утверждении также не предполагается монотонность функции х и то, что множество значений [с, d] функции х = х(t) совпадает с отрезком G = [min(x(t0);x(T));max(x(t0);x(T))] (Gc[c,dj) (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Нередки ситуации, когда для решения одной и той же задачи могут существовать различные подстановки. Умение подобрать наиболее эффективную в данной конкретной ситуации подстановку определяет в том числе культуру интегрирования учащегося.

Подчеркнем еще раз, что замена переменной — наиболее мощный и часто используемый метод при вычислении интегралов от иррациональных и трансцендентных функций. Как правило, подобрать подходящую замену в сложных случаях — целое искусство. В некоторых случаях удается сформулировать общие рекомендации по заменам, ориентируясь на конкретный класс интегрируемых функций. Например, разработаны и проверены практикой специальные рационализирующие подстановки при интегрировании иррациональных алгебраических функций; существуют рекомендации по заменам в классе тригонометрических функций. Многие из таких подстановок рассмотрены в пособии [20].

Формальное применение формул (3.3) и (3.4) при замене переменной (без проверки условий их применимости) может привести к неверным результатам. Рассмотрим примеры.

1 (jx

Возможно ли вычисление интеграла J-- с помощью подстановки

_11 + X

t = 1/х?

Решение. Нет. Если сделать формально подстановку х = — (не проверяя условий ее применимости в данной задаче), то придем к неверному результату:

На самом деле, если воспользоваться соответствующим табличным интегралом, то получим другое (верное!) значение:

Ошибка в первом случае связана с тем, что изменению х на отрезке [-1,1]

соответствует изменение t = — не на отрезке [-1,1], а на объединении полу-

х

прямых (-оо,-1] и [1, + оо). Тем самым указанная замена просто не удовлетворяет требованиям теоремы 3.3 о замене переменной, и вычислять интеграл с ее помощью нельзя.

Эта функция непрерывна на [0,2л], причем ее производная на этом отрезке совпадает с f(x). Тогда по формуле Ньютона — Лейбница получаем

2-й способ. Можно было бы (чаще поступают именно так) вычислить данный интеграл, разбив его на два интеграла:

и воспользоваться тем, что первообразной для /на [0, л] является функция а на [я, 2я] — функция

(Fj получается из F при С = 0 с помощью доопределения F в точке х = л по непрерывности слева, a F2 — справа). В этом случае, применяя формулу Ньютона — Лейбница к каждому из интегралов, получаем

ством значений является отрезок [1,3]; кроме того, функция g(t) = -^-(5-t2) непрерывна на [1,3]), тогда dx = “tdt и приходим к интегралу

б) Выполним тригонометрическую подстановку: x = asint, te[0, я/2] (условия теоремы 3.3 выполняются: функция х = a sin t непрерывно дифференцируема на отрезке [0, тс/2], причем отрезок [0, а] является множеством ее значений; функция f(x) = x2'Ja2-x2 непрерывна на отрезке [0, а]; х(0) = 0, х(к/2) = а). Тогда dx = a cos tdt и получаем

гг Г тс

Учитывая, что |cost| = cost при t е 0, — , окончательно находим

в) Продемонстрируем на данном примере, что при замене переменной в интеграле Римана может возникнуть несобственный интеграл 1-го рода. Так, применяя метод интегрирования дифференциального бинома, сделаем

з/ А

замену t = V1 + х 5 . Функция t непрерывно дифференцируема на полуинтервалах и (0,1], точка х = 0 является особой точкой функции t, причем lim t(x) = -<*>, Нт t(x) = +°°. Поэтому интеграл вычисляется следующим х—>0-0 х—>о+о

образом:

г) Покажем, что при замене переменной в интеграле Римана может возникнуть и несобственный интеграл 2-го рода. Функция/непрерывна на [0,1]. После замены t = V 1-х2 получаем

  • 1 tcft
  • (в интеграле| , подынтегральная функция не ограничена на [ОД)), о vl —t

Пример 3.19

!_1х2 + х +

Вычислить интеграл, внося необходимую функцию под знак дифференциала, но не вводя новой переменной: J ? Х<*Х

Решение. Имеем

Пример 3.20

Доказать, что если функция/непрерывна на отрезке [0,1], то справедливы интегральные равенства:

б) Выполним в интеграле I = jxf(sinx)dx подстановку t = n-x (при этом

о

пределы интегрирования сохранятся прежними, только поменяются местами):

Я

Из полученного равенства I = nj/(sinf)df - I, выражая /, находим

о

Рассмотрим пример, в котором использование доказанной формулы позволяет быстро упростить вычисление интеграла.

„ „ 1 xsinx ,

Наити I-—ах.

g1 + cos2 х

Решение. В силу предыдущего примера имеем

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >