Средняя арифметическая величина

Наиболее распространенным видом среди степенных средних является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных единиц совокупности.

Средняя арифметическая простая равна сумме отдельных несгруппи- рованных значений усредняемого признака, деленной на общее их число:

где хи х2, х3 ... х„ — отдельные значения варьирующего признака (варианты); п — число единиц совокупности и в то же время число всех вариант.

Средняя арифметическая взвешенная определяется по сгруппированным данным. Она равна сумме произведений вариант на соответствующие частоты, деленной на сумму частот:

где fu /2 /„ — частоты (веса) соответствуют числу единиц совокупности, объединенных в группы одинаковой величиной признака; Zxf — сумма

произведений вариант на соответствующие частоты; ZI — общее число

единиц всей совокупности.

ПРИМЕР 6.1

Требуется найти среднюю выработку одного рабочего за смену в бригаде из 15 человек, если известно, сколько деталей изготовил каждый из них (табл. 6.2).

Таблица 6.2

Выработка рабочих за смену в бригаде

Номер

рабочего

Выработка, шт.

Номер

рабочего

Выработка,

шт.

Номер

рабочего

Выработка,

шт.

1

21

6

19

11

21

2

20

7

18

12

20

3

20

8

22

13

18

4

19

9

19

14

19

5

21

10

20

15

20

Так как данные не сгруппированы, то рассчитаем среднюю выработку по формуле средней арифметической простой:

Теперь сгруппируем данные и рассчитаем среднюю выработку рабочего за смену по формуле средней арифметической взвешенной (табл. 6.3).

Таблица 6.3

Ряд распределения рабочих по выработке деталей за смену

Выработка деталей за смену одним рабочим, шт.

Число рабочих, человек

18

2

19

4

20

5

21

3

22

1

Всего

15

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд. При этом величины открытых интервалов условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним.

ПРИМЕР 6.2

По данным табл. 6.4 необходимо определить среднюю заработную плату рабочих акционерного общества.

Распределение рабочих акционерного общества но величине заработной платы

Таблица 6.4

Группы рабочих по среднемесячной заработной плате, руб.

Число рабочих, человек

Середина интервала, руб.

до 5000

5

4500

5000-6000

15

5500

6000-7000

20

6500

7000-8000

30

7500

8000-9000

16

8500

9000 и более

14

9500

Итого

100

Средний уровень оплаты труда рабочих акционерного общества составляет 7290 руб/мес.

Основные свойства средней арифметической величины представлены в табл. 6.5.

Основные свойства средней арифметической

п/п

Свойство

Формула расчета

1

Если каждую варианту ряда (х) умножить на какое-то произвольное постоянное число а, то средняя арифметическая полученного ряда (х') будет больше в это же число раз

laxf alxf

х = „ ' = Г = ах,

X/ X/

т.е. х' = ах

2

Если каждую варианту ряда (х) разделить на какое-то произвольное постоянное число а, то средняя арифметическая полученного ряда (х') будет меньше в это же число раз

1-f -14 *

' If " If а’ 1-

т.е. х = —х а

3

Если к каждой варианте ряда (.г) прибавить или от каждой варианты отнять постоянное число а, то средняя арифметическая полученного ряда (х') будет больше или меньше на это число а

Е(х±я)/ 'Z(xfiaf)

If ~ If

= lxf + alf =x + a If If ~ ’

т.е. x' = x±a

4

Если каждую частоту ряда (х) умножить или разделить на произвольное постоянное число I), то средняя арифметическая полученного ряда (.*') не изменится

r Ixbf bY,xf Ibf bZf ’

т.е. x' = x

5

Сумма произведений отдельных вариант ряда (х) на соответствующие частоты всегда равна среднему значению признака (х') , умноженному на сумму частот

lxf = xZf

6

Алгебраическая сумма отклонений отдельных вариант ряда (л) от средней арифметической (х') (умноженных на соответствующие частоты, если данные сгруппированы) всегда равна нулю

X (x - x) = 0 — для нссгруп- пированных данных; S(x-J)/ = 0 — для сгруппированных данных

7

Сумма квадратов тех же отклонений есть всегда величина минимальная

Х(х_х)2 = min — для несгруппированных данных;

Yj(x-x)2 • / = min — для сгруппированных данных

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >