Потенциальная энергия упругой деформации

Целью прочностных расчетов — определение перемещений, деформаций и напряжений в конструкции. Сопротивление материалов рассматривает сравнительно простые расчетные схемы, для которых указанные величины определяются по простым инженерным формулам. Для сложных реальных конструкций в общем случае расчет сводится к решению системы из 15 дифференциальных уравнений и, как правило, не имеет аналитического решения. Приближенное численное решение такой системы также сопряжено с большими трудностями.

Для решения сложных задач успешно применяется энергетический подход, в основе которого лежит определение работы внешних и внутренних сил, определение потенциальной энергии упругой деформации. Для успешного овладения энергетическими методами расчета в курсе сопротивления материалов для каждого вида деформации рассчитывают потенциальную энергию упругой деформации.

Рассмотрим общий подход к определению потенциальной энергии упругой деформации. Для ее расчета используется известный принцип механики: если тело находится в равновесии, то сумма работ внешних и внутренних сил, действующих на тело, равна нулю на любых возможных перемещениях.

Возможными считают перемещения малые, согласованные со связями. Заметим, что реальные перемещения конструкции всегда возможные: б Wвнеш + 6И/Впутр = 0, где б Wвнеш и 6И/В,,утр — вариации (малые приращения) работы внешних и внутренних сил.

При упругой деформации знак вариации можно опустить, тогда Wв,,еш + г = q где и/ш,еш и и/вм>тр _ работа внешних и внутрен-

них сил.

Работа внешних сил затрачивается, в основном, на совершение упругой и пластической деформации. При этом работа пластической деформации обычно во много раз больше работы упругой деформации. Работа пластической деформации переходит в теплоту, а работа упругой деформации - в потенциальную энергию, которая постоянно находится в теле (как сжатая пружина), готовая при определенных условиях, например при разрыве тела, высвободиться, что при большом запасе энергии может привести к катастрофическим последствиям.

Далее рассматриваем лишь упругую деформацию тела. Тогда Wвнеш = |_J4/BH>TP| = [j гдс /7 _ потенциальная энергия упругой деформации, которая всегда положительная.

В случае действия одной силы Fработа внешних сил равна произведению силы на псремешенис Д под силой, если F= const. В общем случае работа внешних сил равна площади диаграммы деформирования тела в координатах F— Д, как известно из курса математики (технические приложения определенного интеграла). При упругой деформации перемещение пропорционально нагрузке, и на графике (рис. 1.8, а) это — прямая линия. Тогда работа силы F

А

И/Внеш =|/'с1Д = -/гД равна площади, ограниченной графиком под- о 2

ынтегральной функции и осью абсцисс, т. е. площади заштрихован-

Работа внешних (а) и внутренних (6) сил ного треугольника, а в случае действия системы сил — сумме работ

Рис. 1.8. Работа внешних (а) и внутренних (6) сил ного треугольника, а в случае действия системы сил — сумме работ

каждой силы в отдельности: уткш = —У F А .

2^

Мерой внутренних сил в теле являются напряжения, и потенциальную энергию упругой деформации, численно равную работе внутренних сил, можно связать с напряжениями, записав в виде /7 = J/70dK , где Я0 — удельная потенциальная энергия упругой де-

v

формации, накопленная в единице объема тела V.

При растяжении Я0 = ос/2 (равна площади треугольника на диаграмме деформирования в координатах о — с (рис. 1.8, б)).

Величину Я() в дальнейшем для отдельных видов деформации выразим через напряжения и деформации. Используя начало возможных перемещений, получим связь между нагрузками, перемещениями, напряжениями и деформациями, которая и ляжет в основу энергетических методов расчета, включая метод конечных элементов, самый мощный метод расчета напряженно-деформированного состояния конструкций.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >