Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
Посмотреть оригинал

Группы симметрии

Совокупность преобразований, совмещающих объект с самим собой, называется группой симметрии объекта.

Объекты могут быть разной природы: геометрические тела, молекулы, дифференциальные уравнения, функции и т. п. Главное, чтобы они не менялись при каких-либо преобразованиях. Преобразования бывают дискретными или непрерывными. Если преобразования дискретные и их конечное число, группа, естественно, оказывается конечной.

а) Группа вращений правильного треугольника включает в себя ось третьего порядка Сз и три оси второго порядка Сч-

Рис. 1.1. а) Группа вращений правильного треугольника включает в себя ось третьего порядка Сз и три оси второго порядка Сч-

  • б) Вертикальная зеркальная плоскость ov и горизонтальная (7 h.
  • в) «Молекула», имеющая зеркально-поворотную ось четвертого порядка S4.

Группа симметрии молекулы состоит из конечного числа движений, под действием которых молекула переходит сама в себя. Все такие преобразования (элементы симметрии) оставляют на месте по крайней мере одну точку, поэтому такие группы называют точечными.

Пример 1.10 (группа треугольника). Примером точечной группы является группа треугольника (рис. 1.1 а). В данной группе два существенно разных элемента симметрии: ось третьего порядка Сз pi перпендикулярная ей ось второго порядка С2. Из-за наличия оси третьего порядка появляется три оси второго порядка.

Всего в группе треугольника 6 элементов: тождественное преобразование, два поворота вокруг оси Сз и три поворота вокруг осей С2.

В общем случае в точечной группе могут быть только три вида элементов:

  • 1: Поворот Сп на угол 2ir/n вокруг оси n-го порядка.
  • 2: Отражение av в плоскости, проходящей через ось, или в плоскости <7/,, перпендикулярной оси. Индексы h указывают на вертикальную или горизонтальную плоскость в предположении, что ось гг-го порядка является вертикальной, рис. 1.1 б).
  • 3: Зеркальный поворот 5гп = 0ьр2т т. е. поворот с отражением в горизонтальной плоскости. Чтобы после поворота на 27г молекула возвратилась в исходное состояние, порядок зеркально-по воротной оси должен быть четным, рис. 1.1 в).

В пространственных группах, описывающих симметрию бесконечных пространственных кристаллов, к поворотам и отражениям добавляются трансляции (переносы) на постоянную решетки и их композиции с поворотами или отражениями. Пространственные группы могут быть как конечными, так и бесконечными.

Пример 1.11 (группа диэдра или диэдральная группа).

Это группа симметрий правильной призмы (или правильного n-у гольника). Она обозначается Dn. Легко понять, что в этой группе есть ось n-го порядка Сп и п перпендикулярных ей осей второго порядка Сг (па рис. 1.2 изображены отдельно случай четного п и случай нечетного п).

Группы Dq и D*

Рис. 1.2. Группы Dq и D*,

В группе Dn всего 2п элементов: тождественное преобразование, п — 1 поворот вокруг оси Сп и п поворотов вокруг осей С-2-

Пример 1.12. Обыкновенное дифференциальное уравнение

инвариантно относительно преобразований растяжения

Такое уравнение называется однородным и решается с помощью перехода к новой переменной = у/х. Все растяжения с разными Л образуют группу R, которая, очевидно, бесконечная и непрерывная. Чтобы задать преобразование из этой группы, требуется задать параметр Л. Количество параметров, необходимое для однозначного задания преобразования из непрерывной группы симметрии, называется размерностью и обозначается dim. В нашем примере dim Я = 1.

Пример 1.13 (группы правильных многогранников).

Группа (правильного) многогранника состоит из вращений этого многогранника, совмещающих многогранник с самим собой. Вращения — это не все симметрии многогранника (среди которых могут быть, например, зеркальные отражения), а только повороты.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы