Изоморфизм и гомоморфизм

У этих слов есть общая часть: «морфизм». В математике есть общее понятие морфизма, однако нам понадобятся только изоморфизмы и гомоморфизмы.

Много информации о группе можно получить из таблицы Кэли (таблицы умножения) группы

Как уже объяснялось выше, в каждой строке таблицы умножения элементы попарно различны, и в каждом столбце элементы также попарно различны (любая строка и любой столбец образуют перестановку элементов группы).

Алгебраические свойства группы отражаются в таблице Кэли. Скажем, если группа коммутативна, то таблица Кэли симметрична; если все элементы имеют порядок 2, то на диагонали стоят единичные элементы группы, и т.д.

Пусть для сравнительно большой группы, скажем, порядка 20, выписана таблица умножения. Занумеруем теперь элементы этой группы в другом порядке и напишем еще одну таблицу умножения. Глядя на эти таблицы, трудно понять, задают ли они одинаковую группу. И как вообще понимать утверждение «две группы одинаковы»?

С алгебрам ческой точки зрения группы «одинаковы», если они изоморфны.

Пусть есть отображение G —>• G' группы (G, *) в группу

Отображение р> называется изоморфизмом, если

  • 1) отображение взаимно однозначно;
  • 2) отображение р> сохраняет операцию, т. е. образ произведения равняется произведению образов: (р(а * Ь) = <р(а) о (р(Ь).

Рассмотрим некоторые свойства изоморфизма.

1) Изоморфизм сохраняет единицу: р(е) = е'. Доказательство: для любого а ? G имеем а*е = е*а = а. Тогда по второму свойству изоморфизма ip(a) о ip(e) = р(е) о <р(а) = <р(а).

Заметим, что в этом рассуждении мы использовали оба свойства из определения изоморфизма. Применяя второе свойство, мы можем раскрыть равенство <р(а * е) = <р(е * а) = у>(а). Согласно первому свойству <р(а) пробегает всю группу G', если а пробегает всю группу G.

2) Образ обратного элемента — обратный элемент к образу: Этот факт следует из равенства

которое и означает, что обратный к образу а элемент есть образ обратного: = у?(а-1).

3) Обратное отображение <р~1 является изоморфизмом. Взаимная однозначность обратного отображения очевидна, а сохранение операции получается так:

4) Композиция изоморфизмов является изоморфизмом:

Здесь для простоты записи операции во всех трех группах обозначены одинаково.

Пример 1.31. У бесконечной циклической группы (а) есть два порождающих элемента: а и а-1. Никаких других порождающих нет. Степени любого элемента, отличного от а и а-1, не перечислят все элементы группы. Поэтому любая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Для установления изоморфизма достаточно перевести аи 1. тогда ап »-> п.

Тем самым утверждение, которое мы сделали в теореме о циклических группах, полностью обосновано.

Пример 1.32. Рассмотрим теперь две циклические группы А, В с одинаковым количеством элементов, скажем, п. Порождающий элемент группы А обозначим а, порождающий элемент группы В обозначим 6. Как уже говорилось выше, любой элемент А представляется в виде ак, 0 ^ к < п. То же верно и для группы В. Рассмотрим отображение (р: А —> В,

которое задается правилом <р: ак Ьк. Это взаимно однозначное отображение. Более того, это изоморфизм, так как операция сохраняется:

Итак, любые две циклические группы с одинаковым числом элементов изоморфны. Поэтому нет нужды различать их, когда используются только свойства групповой операции.

Пример 1.33. Рассмотрим пример изоморфизма неабелевых групп. Докажем, что D3 = S3. Каждый элемент группы симметрий треугольника переводит треугольник в себя. Значит, вершины треугольника переходят в вершины. Пронумеруем вершины треугольника числами 1, 2, 3 и сопоставим элементу (j ? Дз перестановку v(g) ? S3 чисел, которая задается перестановкой соответствующих вершин треугольника. Например, v(e) = () — каждая вершина остается на месте. Из построения ясно, что композиции элементов ?>3 соответствует композиция соответствующих перестановок. С другой стороны, образы трех точек однозначно определяют движение плоскости. Поэтому разным элементам Дз соответствуют разные перестановки. Поскольку |Дз| = IS3I = 6, указанное выше отображение v: Дз —> S3 — изоморфизм.

Пример 1.34. Среди правильных многогранников есть двойственные: куб двойственен октаэдру, а додекаэдр икосаэдру. В частности, центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней додекаэдра вершинами икосаэдра (это можно проверить и непосредственно). Поскольку центры граней при вращении переходят в центры граней, получаем из этого наблюдения изоморфизм группы куба и группы октаэдра, а также группы додекаэдра и группы икосаэдра.

Пример 1.35. По двум группам <7, Н можно построить группу, которая называется прямым произведением групп <7 и Н и обозначается G х Н. Элементами G х II являются все пары (д, /*), где д ? (7, h ? II. Операция в G х II — это покомпонентное выполнение операций в(?иЯ:

Относительно такой операции G х Н является группой: ассоциативность очевидна, единицей G х Н является пара (е<2, ец) (здесь ес — единица группы G, а ен — единица группы Я), обратным к (д, h) — элемент (-1).

Порядок сомножителей в прямом произведении не важен, потому что G х II = II х G. Изоморфизм задастся отображением, меняющим компоненты местами: р: (gJi) (h, д). Взаимная однозначность и сохранение групповой операции очевидны.

Пример 1.36. Изоморфизм группы с самой собой называется автоморфизмом. Тривиальный пример автоморфизма — тождественное отображение. Автоморфизмы группы G образуют относительно композиции группу, которая называется группой автоморфизмов. Важным примером автоморфизмов являются внутренние автоморфизмы, которые имеют вид

где д некоторый фиксированный элемент группы. Автоморфизмы, не являющиеся внутренними, называются внешними. Внутренние автоморфизмы также образуют группу относительно композиции. Если группа G коммутативна, то единственный се внутренний автоморфизм — тождественное отображение. Для некоммутативных групп существуют нетривиальные внутренние автоморфизмы.

Проверим, что р: х дхд~х действительно является автоморфизмом. Взаимная однозначность: пусть р(х) = р(у), т. е. дхд~1 = дуд~1. Умножая это равенство слева на д~1, а справа на д, получаем х = у. Сохранение операции также проверяется прямым вычислением:

Теорема 1.37 (теорема Кэли). Любая конечная группа порядка п изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы Sn.

Доказательство. Пусть п = |(7| — порядок группы G. Дяя элемента а группы G рассмотрим отображение La: G —> G, определяемое формулой La: g ад. Мы «сдвигаем» каждый элемент на а, поэтому отображение La называется сдвигом на а. Как уже говорилось, La взаимно однозначное отображение G на себя. Перенумеровав элементы G числами от 1 до п, можно считать Ь„ перестановкой из Sn.

Если {е = д,д2, ?п} — все элементы группы G, то множество перестановок {Lgi, Ьд2,... Lgn } образует подгруппу Sn. Действител ьно,

аналогично L~l = Lg-1.

Отображение L : а La является изоморфизмом. Оно взаимно однозначно по построению, а второе свойство изоморфизма получается из (1.8).

Итак, построен изоморфизм G и подгруппы группы перестановок Sn. ?

Группа всех перестановок устроена достаточно сложно, так что большой пользы от теоремы Кэли нет. Скорее ее нужно воспринимать как утверждение о сложности структуры подгрупп группы перестановок.

Теперь перейдем к гомоморфизмам.

Отображение ip: G —» G', где (С,*), ((?',о) — две группы, называется гомоморфизмом, если <р(а * Ь) = <р(а) о <р(Ь).

Гомоморфизм нс обязательно взаимно однозначен. Группа G' нс обязательно является полным образом группы G, может так быть, что Im(G) = p(G) С G т. е. образ будет собственным подмножеством G'.

Свойства гомоморфизма:

  • 1) ip(e) = е'.
  • 2) v?(a-1) = ч7(a)-1.
  • 3) Композиция гомоморфизмов — гомоморфизм.

Доказательства аналогичны доказательствам для изоморфизма.

4) Я' < G', т. е. гомоморфный образ группы есть группа.

Докажем это свойство, проверив групповые аксиомы. Единица е' принадлежит Я'. Пусть tp(x), ip(y) 6 Я' . Тогда р(х*у) = ip(x)oip(y) ? Я'. Наконец, ф(х~1) = поэтому

V?(x)_1 Е Я'.

Следовательно, Н' группа, а раз она группа, то она подгруппа G'.

Пример 1.38. Из линейной алгебры известно, что определитель произведения матриц равен произведению определителей: det(AB) = det(.4) det.(B). Поэтому отображение

является гомоморфизмом группы GL(R,n) невырожденных матриц порядка п с действительными элементами в мультипликативную группу действительных чисел, отличных от 0.

Пример 1.39. Транспозицией называется перестановка, которая меняет местами ровно два элемента. Всякая перестановка является произведением транспозиций. Для доказательства этого утверждения нужно разложить перестановку на циклы и выразить каждый цикл в виде произведения транспозиций:

Знаком sgn(7r) перестановки 7г назовем число (—l)n+fc, где п — число элементов в перестановке, к — число циклов в цикловом разложении перестановки, включая циклы длины 1. Перестановка называется четной, если ее знак равен +1, в противном случае она называется нечетной. Легко видеть, что тождественная перестановка () — четная, ее знак

(_1)п+п = +1

Перестановку можно разложить в произведение транспозиций разными способами. Но оказывается, что четность числа транспозиций в любом разложении перестановки 7г не зависит от выбора разложения: четные перестановки разлагаются в четное число транспозиций; нечетные — в нечетное. Доказать это можно индукцией но длине записи перестановки в виде произведения транспозиций. Основание индукции — тождественная перестановка (произведение 0 транспозиций). Для индуктивного перехода осталось проверить, что умножение перестановки на транспозицию (jk) меняет количество циклов на 1: увеличивает, если j и к входят в один цикл; уменьшает, если j и к входят в разные циклы. Действительно, запишем произведения в обоих случаях (используем цикловую запись):

(на месте заглавных букв могут стоять любые последовательности чисел, отличных от j,k).

Рассмотрим отображение sgn: 7г sgn(?r). Это гомоморфизм группы Sn в группу {±1}, которая есть просто-напросто циклическая группа порядка 2 в мультипликативной записи. В самом деле, раз четность числа транспозиций, произведением которых записывается перестановка, не зависит от выбора произведения, то при перемножении перестановок четности числа транспозиций складываются по модулю 2, а знаки перестановок перемножаются.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >