Ядро гомоморфизма

Напомним, что гомоморфизм — это отображение одной группы в другую, сохраняющее произведение. Пусть (G, ?) и (G',o) — группы, а? (р — гомоморфизм группы G в группу G'. Ядром гомоморфизма называется множество Ker р = {g Е G Т. е. ядро гомоморфизма — это множество элементов группы G, отображающихся в единицу группы G'. Пусть а Е Kerp, b Е Kei•, тогда и ab Е Кег<^> (если два элемента принадлежат ядру гомоморфизма, то и их произведение принадлежит гомоморфизму), так как

Обратный к элементу, принадлежащему ядру, также принадлежит ядру:

Значит ядро является подгруппой G.

Пример 1.61. Рассмотрим отображение р: Z —> (а) аддитивной группы целых чисел Z в конечную циклическую группу (а), порожденную элементом а, которое задается формулой:

Очевидно, что это гомоморфизм. Что же будет ядром гомоморфизма р? Пусть q — минимальное положительное число, для которого ая = е. Тогда Ker р = {lq | / Е Z} (доказательство аналогично тому рассуждению, с помощью которого были найдены все подгруппы циклической группы в теореме 1.27).

Пример 1.62. Рассмотрим мультипликативную группу положительных чисел с операцией умножения (Ш*+, •), а также

(R, +) аддитивную группу действительных чисел. Отображение ip: а In а является гомоморфизмом в силу известного свойства логарифма. Поскольку Korp> = {1}, этот гомоморфизм является изоморфизмом.

Теорема 1.63 (теорема о гомоморфизме групп). Пусть <р: G G' — гомоморфизм с ядром Ker р = К. Тогда К < G и G/K = 93(G).

Обратно, если К < G, то существуют группа G', а гшенно G/K, и гомоморфизль 7г: G —> G' (7г: G —» G/К) такие, что Кегтг = К.

Т. е. гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма. Звучит немного угрожающе, по разобраться с этой теоремой несложно.

Доказательство. Докажем, что ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Возьмем h Е Кег р и проверим, что <3(3_Л3) = в':

Определим отображение ф: G/K —> G' так, что образом смежного класса по К является образ при гомоморфизме р любого элемента из этого класса, т. е. ф: (уК) •—> р(д)-

Это определение корректно, так как из у = у2х, х Е К, следует 92(31) = 92(32^) = 92(32) 0 З^ж) = 92(32) ° е' = 92(32)- Значит, образы представителей смежного класса по Л' при гомоморфизме одинаковы.

Далее,

Мы доказали, что образ произведения равен произведению образов. Следовательно, ф — гомоморфизм. Докажем, что ф не только гомоморфизм, но и изоморфизм. Для этого нужно доказать, что отображение ф взаимно однозначно. Действительно, из ф{дК)) = ф((у2К)) следует p(gi) = p(g2), откуда получаем p{gl д2) = е;. Значит, l д2 G А', т.е. дК = д2К.

Очевидно, что тф = Im (образ отображения ф совпадает с образом отображения <р). Поэтому ф искомый изоморфизм G/К и = Im ip.

Обратное утверждение в теореме совершенно тривиально. Пусть К о G. Построим гомоморфизм п: G —> G/К формулой тг: д (дК). Тогда Кегтг = К. Этот гомоморфизм называется естественным (или каноническим) гомоморфизмом. Если у вас возникает задача построить гомоморфизм, ядро которого задано, то нужно просто брать элементы и отображать в смежный класс по той группе, которая объявлена ядром. ?

Следствие 1.64. Если Кетр = {е}, mo G = p(G).

Следствие 1.64 удобно использовать при доказательстве того, что некоторое отображение является изоморфизмом: достаточно проверить тривиальность ядра и сюръективность отображения ip. Отображение р: G —> Я называется сюръективным, если оно является отображением на Н. Напомним, что это в точности означает, что у каждого элемента hН есть хотя бы один прообраз (такой элемент д е G, что <р{а) = h)-

Пример 1.65. Пусть Ъ[х — аддитивная группа полиномов от х с целыми коэффициентами. Теперь возьмем множество Н = {(я — 3)f(x) | f(x) € Щх) — множество полиномов, у которых есть множитель х - 3. Очевидно, II < Щх] (любая подгруппа коммутативной группы нормальна). Как построить факторгруппу?

Рассмотрим гомоморфизм <р: f(x) *-> /(3), который каждому многочлену ставит в соответствие его значение в точке 3. В иоль отобразятся только элементы из Я. Таким образом, Z[x]/H = Z.

Пример 1.66 (продолжение примера 1.38). В ядро гомоморфизма det: GL(M, п) —> Ш* входят матрицы с определителем 1. Группа таких матриц обозначается 5L(R, n). Она является нормальной подгруппой GL(R,n).

Пример 1.67 (продолжение примера 1.39). В ядро гомоморфизма sgn: Sn —> {±1} входят четные перестановки. Группа четных перестановок называется знакопеременной группой

(или альтернирующей группой) и обозначается Л„. Она является нормальной подгруппой в Sn.

Замечание 1.68. Если II < G, то |G| = |//| • G/H (считаем группы конечными). Поэтому между элементами G и множеством пар (Л.,/), где h € Я, / G G/H, существует взаимно однозначное соответствие. Однако было бы ошибкой думать, что G = Н х (G/Я). Простейший пример, когда такого изоморфизма нет, группа S3. Как мы видели в примере 1.40, группа Н = ((123)) является нормальной подгруппой S3. Подгруппа Н циклическая группа С3 порядка 3. Факторгруппа S3/H состоит из двух элементов, а потому изоморфна циклической группе С2. Но S3 Р- Сз х С2 (группа С3 х С2 коммутативная, а S3 — нет).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >