Кольца классов вычетов

Так же, как мы раскладывали группу на смежные классы по нормальной подгруппе, мы будем раскладывать кольцо по идеалам. Возьмем какой-нибудь элемент кольца г и рассмотрим суммы этого элемента со всеми элементами идеала. Получим, конечно, смежный класс по идеалу как аддитивной подгруппе кольца. Но теория колец очень долго развивалась совершенно независимо от теории групп, поэтому в ней возникла своя терминология. В данном случае смежные классы называются классами вычетов по модулю идеала /, или, более кратко, классами вычетов по I. Поскольку по сложению кольцо — группа, то для классов вычетов выполняются все теоремы о смежных классах.

Пример 2.16. Рассмотрим кольцо целых чисел и вычеты по идеалу r?Z, описанному в примере 2.13. Получим такие множества:

Следующий шаг состоит в том, чтобы доказать, что совокупность классов вычетов снова образует кольцо. Это верно, если идеал — двусторонний. (Аналогично тому, как классы смежности по подгруппе образуют группу лишь в том случае, когда левые смежные классы совпадают с правыми).

Операции над классами вычетов определяются аналогично операциям над смежными классами. Однако из-за наличия двух операций возникают некоторые тонкости.

Докажем несколько простых соотношений. (Предполагаем ниже, что рассматриваются двусторонние идеалы, хотя часть утверждений верна и для односторонних идеалов.)

Пусть у нас есть два элемента, которые принадлежат одному классу вычетов по модулю двустороннего идеала I. Это означает, что а = г + b = г + гг, i,i2I. Такие элементы называются сравнимыми, отношение сравнимости обозначается а = b (mod I) (иногда для краткости I не пишут), читается «а сравнимо с b по модулю идеала /».

Непосредственно из определения следует

Утверждение 2.17. а = b (mod I) равносильно а — b G I.

Доказательство. Предположим, что а = г + ij, b = г 4- *2- Тогда а — b = ц - i2 € I. И наоборот: если а - b = г G /, то а = 6 + г€& + /, значит, а = Ь. ?

Из этого простого утверждения следует весьма полезный вывод: сравнение но модулю идеала в большой степени похоже на обычное равенство.

Утверждение 2.18. Если а. = а2, Ь = 62, moa--bi = <22+62 и a.i = <22^2*

Доказательство. Разность двух элементов, принадлежащих идеалу, принадлежит идеалу; произведение элемента идеала на любой другой элемент принадлежит идеалу. Поэтому

  • 1) Пусть ai-a2 G /, 61—62 G /, тогда л +61) -(a2+62) G /, т.е. ai 4- b = a2 4- 62.
  • 2) (l — 0-2^2 = — ^1^2 + й]^2 ^2^2 = ft] (6] — 62) +

H-(ai - 0.2)62 G / (здесь использовано, что идеал — двусторон-

ний).

?

Тенерь определим сумму и произведение классов вычетов П = П + I, г2 = г2 + /:

Нужно доказать корректность введенных операций, т. е. независимость результата операции от выбора представителя класса вычетов. Это немедленно следует из утверждения 2.18. Действительно, если

то ri = г[, г2 = 7*2, и по утверждению 2.18 получаем 7*1 4- 7*2 = г + 7*2, 7*17*2 = г^г^. Это и значит, что сумма и произведение представителей классов вычетов принадлежат одному и тому же классу вычетов, который нс зависит от выбора представителей. Поэтому результаты операций, определенных (2.5), (2.6), не зависят от выбора представителей классов вычетов.

Утверждение 2.19. Совокупность классов вычетов с операциями, определенными равенствами (2.5), (2.6), образует кольцо.

Это кольцо и называется кольцом классов вычетов (обозначение /?//).

Доказательство. Для доказательства мы построим гомоморфизм исходного кольца на совокупность классов вычетов и воспользуемся доказанным ранее утверждением, что образ кольца при гомоморфизме является кольцом.

Возьмем исходное кольцо R и разложим его по идеалу 7, получим множество классов вычетов R/I. Строим отображение (р: R —> R/I следующим образом ip: г i-> f = г + I. Проверим, что это — гомоморфизм:

т. е. операции сохраняются. Сюръективность очевидна: класс вычетов г + I является образом элемента г. ?

Теорема 2.20 (теорема о гомоморфизме колец). Пусть tp: Ri —> R2 — гомоморфизм колец. Тогда кольцо классов вычетов по модулю ядра гомоморфизма изоморфно гомоморфному образу кольца: 7?i/Ker<^ = p(Ri).

Доказательство. Изоморфизм устанавливается естественным образом:

Здесь гRx, {г} — класс вычетов по модулю I = Кег<^.

Отображение (2.7) определено корректно, гак как если Г = г2 (mod /), то <р{г -гг) = 0, т. е. (р(г) = у?(г2). Очевидно, что а сюръективно (оно переводит в ip(r) класс вычетов {г}). Проверим свойства гомоморфизма:

Ядро этого гомоморфизма нулевое, так как <р(г) = 0 означает г G /, т. е. {г} = 0. Значит, а — изоморфизм. ?

Теперь мы подходим к самому главному для нашего дальнейшего изложения вопросу: можно ли так выбрать идеал, чтобы кольцо классов вычетов было «совсем хорошим»? Например, хотелось бы иметь возможность решать в кольце классов вычетов линейные уравнения. Для этого кольцо классов вычетов должно обладать некоторыми дополнительными свойствами, которые мы укажем в следующем разделе.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >