Основные теоремы теории вероятностей

Сумма событий. Теорема сложения вероятностей

Часто при вычислении вероятности события бывает удобно представить его в виде комбинации более простых событий.

Суммой, или объединением, событий А и В называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Обозначение суммы:

Например, если попадание в цель при первом выстреле есть событие А, а В — попадание при втором выстреле, то хотя бы одно попадание в цель при двух выстрелах есть сумма данных событий А + В.

Если ответ на первый вопрос из билета на экзамене есть событие А, а В — ответ на второй теоретический вопрос, то ответ на хотя бы один вопрос билета из двух есть сумма данных событий А + В.

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = = Р(А) + Р(В). Данная теорема справедлива для любого конечного числа событий.

Как сказано выше, событие А называется противоположным событию Л, если оно состоит в том, что событие А не происходит. Противоположные события всегда несовместны и в сумме дают достоверное событие. Вероятность достоверного события равна единице. Легко видеть, что

Пример 6.13. В лотерее 1000 билетов. На 20 из них падает вещевой выигрыш, на 10 — денежный. Найти вероятность выигрыша на один купленный билет.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что на купленный билет выпадет вещевой выигрыш, событие В — денежный. Тогда А + В — купленный билет окажется выигрышным. События А и В несовместны, поэтому можно применить теорему (6.4) для вычисления искомой вероятности:

Пример 6.14. В лотерее 1000 билетов. На 40 из них падает выигрыш. Найти вероятность покупки невыигрышного билета.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что на купленный

билет выпадет выигрыш, тогда событие А — не выпадает выигрыш.

События А и А несовместны и противоположны, поэтому можно применить теорему (6.4) для вычисления искомой вероятности:

Теорема сложения вероятностей для совместных событий будет рассмотрена ниже.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >