Решение задач по теории вероятностей с помощью графов

Одним из самых наглядных способов решения задач по теории вероятностей служит применение размеченных графов, или деревьев вероятности.

Размеченный граф вероятностей рисуют (как правило) слева направо. Опыты (испытания) обозначаются в виде жирных точек или в виде прямоугольников, а каждый исход — сплошной линией (ветвью), идущей от соответствующей точки или прямоугольника. Около каждой ветви указывается вероятность соответствующего исхода. Сумма вероятностей на ветвях, выходящих из одного прямоугольника, равна единице. Двигаясь по ветвям и перемножая соответствующие вероятности, в конце пути мы получаем вероятность сложного события. Сложив нужные вероятности, найдем вероятность искомого события.

Имеется две основные разновидности графов — неориентированные и ориентированные. Неориентированный граф — совокупность точек (вершин графа) с соединяющими некоторые из них отрезками (ребрами графа, ветвями). Ориентированный граф — это совокупность точек (вершин) с соединяющими некоторые из них ориентированными отрезками (стрелками). В этой работе мы будем пользоваться только ориентированными графами.

Правило вычисления вероятности по размеченному вероятностному графу:

1) вероятность попадания в конечную вершину (вероятность исхода) можно вычислить, перемножая вероятности, встречаемые на ребрах соответствующего маршрута (рис. 6.6, жирный маршрут) Вероятность попадания в одну конечную вершину

Рис. 6.6. Вероятность попадания в одну конечную вершину

2) если же нас интересует вероятность события, которому благоприятствуют несколько исходов, то вероятности соответствующих конечных вершин складываются (рис. 6.7, жирные маршруты)

Пример 6.27. В каждой из трех групп по 25 студентов. Число студентов группы, сдавших экзамен по математике, равно 22, 20 и 18

соответственно. Какова вероятность, что случайно выбранный студент сдал экзамен по математике?

Решение. Построим размеченный вероятностный граф (рис. 6.8).

Вероятность попадания в несколько вершин

Рис. 6.7. Вероятность попадания в несколько вершин

Вероятность сдачи экзамена студентами разных групп (пример 6.27)

Рис. 6.8. Вероятность сдачи экзамена студентами разных групп (пример 6.27)

Обозначим через Л событие, заключающееся в том, что случайно выбранный студент сдал экзамен. Этому событию на графе благоприятствуют три маршрута. Поэтому

Пример 6.28. Студент пришел на экзамен, зная 25 из 30 билетов. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если после отказа отвечать на билет ему предоставляется возможность вытянуть еще один?

Решение. Построим размеченный вероятностный граф (рис. 6.9). Обозначим через А событие, состоящее в том, что студент сдал экзамен. На 1рафе вероятностей этому событию благоприятствуют два маршрута. Следовательно,

Вероятность сдачи экзамена студентом (пример 6.28)

Рис. 6.9. Вероятность сдачи экзамена студентом (пример 6.28)

Пример 6.29. В первой урне находятся 7 белых и 9 черных шаров, во второй — 6 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую переложили два шара, а затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Построим размеченный вероятностный граф (рис. 6.10).

Пусть событие А — извлеченный из второй урны шар оказался белым. Этому событию на графе благоприятствуют четыре маршрута. Поэтому

Вероятность вынуть белый шар (пример 6.29)

Рис. 6.10. Вероятность вынуть белый шар (пример 6.29)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >